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已知 $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ 是有限维线性空间上的三个线性变换。证明： $\mathcal{A}+\mathcal{B}-\mathcal{A}\mathcal{CB}$ 和 $\mathcal{A}+\mathcal{B}-\mathcal{BC}\mathcal{A}$ ...

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设 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是有理数域上线性空间 $V$ 中的向量，$\alpha \ne 0$⁠。若存在线性变换 $\mathcal{T}$ 使...

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设 $A$ 是 $n$ 阶非幂零矩阵，$S$ 是使 $\lambda A$ 与 $A$ 相似的复数 $\lambda$ 的集合。证明：$S$ 是一个有限集。r

已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}3& a& 6\\ -5& -7& -1\\ b& -6& -7\end{array}\right)$ 的特征值 $\lambda$ 对应特征向量 $\alpha =(-2,1,2{)}^T.$ 求该矩阵的 Jordan 标准形。

求 $f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2,$ $g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$ 的最大公因式 $d(x)$⁠，并求 $u(x),v(x)$ 使 $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).$

设 $A$ 是 $2024$ 阶整数矩阵，主对角线上全为偶数，其余元素全为奇数。证明 $A$ 可逆。

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中设 ${\alpha }_1=(-1,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(2,-1,2{)}^T,{\alpha }_3=(0,1,b{)}^T,$ ${\beta }_1=(1,0,-1{)}^T,{\beta }_2=(-1,1,1{)}^T,{\beta }_3=(1,1,c{)}^T.$ 讨论满足...

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设 $X=(x_1,x_2,x_3,x_4)$⁠。问是否存在一次多项式 $u_i(X)=a_i{x}_1+b_i{x}_2+c_i{x}_3+d_i{x}_4,i=1,2,3,4,$ 使...

求齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+3x_3-x_4=0,\\ 3x_1+x_2+x_3-3x_4=0,\\ x_1+5x_2-5x_3-x_4=0\end{array}$ 的一组基础解系。若它的解集与另一个解集...

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，定义 $g(t)={\int }_0^1\frac{t}{x^2+t^2}f(x)dx,t\in \mathbb{R}.$ 证明：$g$ 在 $t=0$ 处连续，当且仅当 $f(0)=0$⁠。

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设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可微，满足 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=1,f(x+1)-f(x)=f^{\prime }(x)$ 对所有 $x$ 成立。证明 $f(x)=x+C.$

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设 $f:(0,1]\to \mathbb{R}$ 是无界单调函数，且反常积分 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ 收敛。证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx.$

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