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求二元极限 ${\lim }_{\begin{array}{c}x\to +\infty \\ y\to +\infty \end{array}}{\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)}^{x^2}.$

求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.$

求 ${\lim }_{n\to \infty }{\left[\cos \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)\right]}^2.$

设 $m,n$ 为任意正整数，求 ${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right).$

求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\tan x}}{\sin x}.$

设 $f(x),g(x)$ 是数域 $K$ 上互素多项式，$A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵。证明： $f(A)g(A)=0$ 的充分必要条件是 $r(f(A))+r(g(A))=n.$

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设 $f_1(x),f_2(x),\dots ,f_n(x)$ 为多项式($n\ge 2$)，且满足 $x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1\mid f_1(x^n)+x{f}_2(x^n)+\cdots +x^{n-1}{f}_n(x^n).$ 证明：存在常数 $c$⁠，使得...

设 $A,B$ 是 $n$ 阶复矩阵，若 $AB=BA$⁠，证明存在 $n$ 阶可逆复矩阵 $P$⁠，使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 都是上三角矩阵。

设 $A,B$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $A^2+B^2=AB.$ 若 $AB-BA$ 可逆，证明 $n$ 是 $3$ 的倍数。

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设 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 ${\mathcal{A}}^3+\mathcal{A}=0.$ 证明 $\mathcal{A}$ 的迹等于零。

设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的特征值全为实数，且 $A$ 的所有一阶主子式之和与所有二阶主子式之和都为零，证明 $A^n=0.$

设数域 $K$ 上的 $n$ 维矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是 $a_i-b_j$⁠： (1)求 $|A|$⁠； (2)当 $n>2$⁠，$a_1\ne a_2$⁠，$b_1\ne b_2$ 时，求 $Ax=0$ 的解空间的维数和一个基。