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设 $f_n$ 是 $[a,b]$ 上的 Riemann 可积函数，并一致收敛于 $f$⁠。证明 $f$ Riemann 可积，且 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b{f}_n(x)dx.$

证明 ${\int }_0^1(x\ln x{)}^{n}dx=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(n+1{)}^{n+1}},$ 并据此证明 ${\int }_0^1{x}^{-x}dx={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^n}.$

设 $x>0,y>0$⁠。证明 $xy-e^{x-1}\le y\ln y.$

设 $f$ 是 $[-1,1]$ 上的连续函数。证明 ${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{-1}^1\frac{\epsilon f(x)}{{\epsilon }^2+x^2}dx=\pi f(0).$

设 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上三次可导，且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x),{\lim }_{x\to +\infty }{f}^{(3)}(x)$ 均存在。证明 $\lim f^{\prime }(x)=\lim f^{\prime \prime }(x)=\lim f^{(3)}(x)=0.$

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证明对 $n\ge 1$⁠， $\frac{2n}{2n+1}\le \frac{(1+1/n{)}^n}{e}\le \frac{2n+1}{2n+2}.$

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用含参量积分求 ${\int }_0^1\frac{\arctan x}{x\sqrt{1-x^2}}dx.$

计算曲面积分 ${\iint }_S(xy+yz+zx)dS,$ 其中 $S$ 是圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+y^2=2ay$ 截得的部分。

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用参数方程 $x=ty$ 参数化曲线 $x^2+y^3=xy,$ 求曲线所围区域的面积。

求极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\sin \frac{k}{n}\sin \frac{k}{n^2}.$

设 $y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}},$ 求 $y^{(2023)}(0)$⁠。

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求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}.$