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设 ${\mathbb{R}}^{n\times m}$ 为实数域上的 $n\times m$ 矩阵空间，$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$⁠、$B\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$⁠，定义 $\sigma (X)=AX+XB,X\in {\mathbb{R}}^{n\times m}.$ 若...

设 ${\mathbb{R}}^{n\times m}$ 为实数域上的 $n\times m$ 矩阵空间，$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$⁠、$B\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$⁠，定义 $\sigma (X)=AX+XB,X\in {\mathbb{R}}^{n\times m}.$ 证明...

设 ${\mathbb{R}}^{n\times m}$ 为实数域上的 $n\times m$ 矩阵空间，$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$⁠、$B\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$⁠，定义 $\sigma (X)=AX+XB,X\in {\mathbb{R}}^{n\times m}.$ 证明...

设 $A\in F^{n\times n}$⁠，其中 $F$ 是数域，且 $A^2=A$⁠。证明： (i)$x\in F^n$ 属于 $A$ 的列向量构成的子空间，当且仅当 $Ax=x$⁠； (ii)记 $W_1=\{x\in F^n:Ax=0\},W_2=\{x\in F^n:Ax=x\},$ 则...

设 $f(x)$ 为整系数多项式，$\alpha$ 为整数。证明 $(\alpha -1)\mid f(1)$ 当且仅当 $(\alpha -1)\mid f(\alpha ).$

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组规范正交基，记 $A=3{\alpha }_1{\alpha }_1^T+{\alpha }_2{\alpha }_2^T-6{\alpha }_3{\alpha }_3^T.$ 求 $A$ 的特征值和特征向量。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right).$ 求正交矩阵 $Q$ 和对角线元素均为正数的上三角矩阵 $R$⁠，使 $A=QR$⁠。

设 ${\alpha }_1=(2,1,-3{)}^T,{\alpha }_2=(3,2,-5{)}^T,{\alpha }_3=(1,-1,1{)}^T,$ ${\beta }_1=(2,0,-1{)}^T,{\beta }_2=(0,0,1{)}^T,{\beta }_3=(-1,0,0{)}^T,$ 线性变换 $\mathcal{A}$ 满足...

设 ${\alpha }_1=(2,1,-3{)}^T,{\alpha }_2=(3,2,-5{)}^T,{\alpha }_3=(1,-1,1{)}^T,$ ${\beta }_1=(2,0,-1{)}^T,{\beta }_2=(0,0,1{)}^T,{\beta }_3=(-1,0,0{)}^T,$ 线性变换 $\mathcal{A}$ 满足...

设五个未知量的矩阵方程 $AX=b$ 的系数矩阵秩为 $3$⁠，且 ${\eta }_1=(1,1,1,1,1{)}^T,{\eta }_2=(1,2,3,4,5{)}^T,{\eta }_3=(1,0,-3,-2,-3{)}^T$ 都是方程组的解。 求方程组的通解。

设五个未知量的矩阵方程 $AX=b$ 的系数矩阵秩为 $3$⁠，且 ${\eta }_1=(1,1,1,1,1{)}^T,{\eta }_2=(1,2,3,4,5{)}^T,{\eta }_3=(1,0,-3,-2,-3{)}^T$ 都是方程组的解。 检验 ${\eta }_1+{\eta }_2+{\eta }_3$ 与...

设五个未知量的矩阵方程 $AX=b$ 的系数矩阵秩为 $3$⁠，且 ${\eta }_1=(1,1,1,1,1{)}^T,{\eta }_2=(1,2,3,4,5{)}^T,{\eta }_3=(1,0,-3,-2,-3{)}^T$ 都是方程组的解。 证明 $b$ 不是零向量。