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设三阶方阵 $A=(A_1,A_2,A_3)$⁠，$|A|=-2$⁠。求 $\det (A_3-A_1,3A_2,A_1).$

若 $1$ 是多项式 $A{x}^4+B{x}^2+1$ 的二重根，求 $A,B$⁠。

利用 $I(\alpha )$ 的表达式求 $J(\beta )={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \beta x}{x}dx.$

证明 $I(\alpha )$ 在 $(0,+\infty )$ 上可导，并求其表达式。

设 $\beta >0$⁠， $I(\alpha )={\int }_0^{+\infty }{e}^{-\alpha x}\frac{\sin \beta x}{x}dx.$ 证明 $I(\alpha )$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续。

二元函数 $(u,v)=(f(x,y),g(x,y))$ 把点集 $D$ 映射到点集 $E$⁠。若 $f,g$ 在 $D$ 上一致连续，$h(u,v)$ 在 $E$ 上一致连续，证明 $h(f(x,y),g(x,y))$ 在 $D$ 上一致连续。

设 $\alpha >0$⁠。证明函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^{2+\alpha }}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛，且其和函数的导函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

求 $f(x)=\mathrm{sgn}x$ 在 $(-\pi ,\pi )$ 上的 Fourier 展开式，并说明其一致收敛性。

求 $I={\int }_0^{1}tg(t)dt,g(t)={\int }_{t^2}^1{e}^{-x^2}dx.$

设 $f,g$ 是 $[a,b]$ 上的黎曼可积函数。证明 $fg$ 也在 $[a,b]$ 上黎曼可积。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right).$

叙述有限覆盖定理和致密性定理，并用有限覆盖定理证明致密性定理。