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设实线性空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 ${\mathcal{A}}^3=\mathcal{A}.$ 证明 $V=\mathrm{Im}({\mathcal{A}}^2+\mathcal{A})\oplus \mathrm{Im}({\mathcal{A}}^2-\mathcal{A})\oplus \mathrm{Im}({\mathcal{A}}^2-\mathcal{E}).$ ...

设 $A$ 为实方阵。证明：若存在实方阵 $P$ 使 $A^T=AP,$ 则存在正交矩阵 $Q$⁠，使 $Q^{-1}AQ=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$ 其中 $B$ 可逆。

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设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵。证明齐次方程 $AX=0$ 与 $BX=0$ 有相同解集的充分必要条件是 $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)=\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B).$

设 $A,B$ 为 $n$ 阶复方阵。证明 $\det \left(\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right)=\det (A+iB)\det (A-iB).$

实线性空间中 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_5$ 线性无关。求向量组 ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_4,{\alpha }_4+{\alpha }_5,{\alpha }_5+{\alpha }_1$ 的秩。

设实二次型 $Q(x_1,\dots ,x_5)=x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_4+x_4{x}_5$ 的正、负惯性指数分别为 $p,q$⁠。求 $(p,q)$⁠。

求 $\mathbb{R}[x]$ 上多项式矩阵 $M=\left(\begin{array}{ccc}x-1& x^2-1& x^3-1\\ x^2-1& x^3-1& x^4-1\\ x^3-1& x^4-1& x^5-1\end{array}\right)$ 的 Smith 标准形。

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设 $A=J_{2025}(0)$ 为 nilpotent Jordan 块。求 $A^{10}$ 的 Jordan 标准形。

求点 $A(1,2,3)$ 到直线 $\frac{x-5}{-4}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{-2}$ 的距离。

在空间直角坐标系中，设 $A=(1,1,1),B=(1,2,3),C=(2,3,4),D=(3,3,4).$ 求平面 $ABC$ 的方程、三角形 $ABC$ 的面积及四面体 $ABCD$ 的体积。

证明：$\mathbb{R}$ 上任意函数的严格极大值点至多可数。

设 $f(x)={\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{x^n}{n^2\ln n}.$ 证明： (1) $f$ 在 $[-1,1]$ 上连续； (2) $f$ 在 $x=-1$ 处右可导； (3) $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=+\infty$⁠； (4) $f$ 在...

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