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设 $[0,1]$ 上的连续函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛于 $f$⁠。证明： (1) 对任意 $\epsilon >0$⁠，存在 $\delta >0$⁠，使所有 $n$ 及满足 $|x-y|<\delta$ 的 $x,y\in [0,1]$ 都有 $|f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon ;$ (2)...

计算 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-\alpha x^2}\cos (\beta x)dx,\alpha >0,\beta \in \mathbb{R}.$

设 $\Sigma$ 为抛物面 $z=x^2+y^2,0\le z\le 1$ 的下侧。计算 ${\iint }_{\Sigma }(2y+z)dydz+zdxdy.$

设 $f\in C^2(D)$⁠，其中 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le \pi \},$ 且 $f_{xx}+f_{yy}=\sin (x^2+y^2).$ 计算 ${\oint }_{\partial D}\frac{\partial f}{\partial n}ds,$ 其中 $n$ 为外单位法向量。

将 $f(x)=\frac{\pi }{2}-x,x\in [0,\pi ],$ 展开成 Fourier 余弦级数，并计算 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1{)}^2},{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4},{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right).$ ...

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方程 $\sin x+\ln y-x{y}^3=0$ 在 $(0,1)$ 附近确定隐函数 $y=f(x)$⁠。求 $f^{\prime }(0)$⁠。

计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-x^{2n}}dx.$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}.$

计算 ${\lim }_{x\to \infty }{\left(\cos \frac{1}{x}\right)}^{x^2}.$

设 $A,B$ 都是实正定矩阵。证明 $AB$ 的特征值都是实数。

设数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，并按行分块为 $A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right).$ 记 $V_1,V_2$ 分别为 $A_{1}X=0$⁠、$A_{2}X=0$ 的解空间。证明 ${\mathbb{F}}^n=V_1\oplus V_2.$

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。证明存在一个次数不超过 $n-1$ 的多项式 $g(x)$⁠，使 $A^{-1}=g(A).$