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已知实二次型 $Q=X^{T}AX$⁠，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 2\\ -2& 1& -1\\ 2& 0& 1\end{array}\right).$ 求 $Q$ 的正、负惯性指数。

在次数小于 $3$ 的实多项式空间 $\mathbb{R}[x{]}_3$ 上定义 $(f,g)=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(x)g(x)dx.$ (1) 证明这是内积； (2) 用 Gram--Schmidt 方法求由 $1,x,x^2$ 得到的一组标准正交基。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& -3& 2\\ 2& -2& 1\end{array}\right).$ 求可逆矩阵 $P$⁠，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

线性变换 $\mathcal{A}:M_{2\times 2}(\mathbb{R})\to M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ 定义为 $\mathcal{A}(X)=FX-XF,F=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$ 在基...

求实矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 0\\ -1& 2& -1& 0\\ 0& -1& 2& -1\\ 0& 0& -1& 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

计算 $n\ge 3$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}2& -1& & & \\ -1& 2& -1& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1& 2& -1\\ & & & -2& 2\end{array}\right|.$

(1) 设 $f\in C^1({\mathbb{R}}^2)$⁠，且 $|f_x(x,y)|\le 1,|f_y(x,y)|\le 1.$ 证明对任意两点有 $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2){|}^2\le 2(x_1-x_2{)}^2+2(y_1-y_2{)}^2.$ (2) 设...

设 $f$ 在 $[0,1)$ 上连续。证明：$f$ 在 $[0,1)$ 上一致连续的充分必要条件是存在 $[0,1]$ 上的连续函数 $g$⁠，使 $g(x)=f(x),x\in [0,1).$

设 $f\in C^{\infty }[0,2\pi ]$⁠，且 $f(0)=f(2\pi ),{\int }_0^{2\pi }f(x)dx=0.$ 证明 ${\int }_0^{2\pi }{f}^2(x)dx\le {\int }_0^{2\pi }[f^{\prime }(x){]}^{2}dx.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续、在 $(0,1)$ 上可导，且 $f(1)=2{\int }_0^{1/2}{x}^{2}f(x)dx.$ 证明存在 $\eta \in (0,1)$⁠，使 $2f(\eta )+\eta f^{\prime }(\eta )=0.$

设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可导，且 $f^{\prime }$ 连续。若 ${\lim }_{x\to +\infty }[2f(x)+f^{\prime }(x)]=0,$ 证明 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0.$

证明数列 $x_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$ 收敛。