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设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_1,V_2$ 是 $V$ 的子空间，且 $\dim V_1+\dim V_2=n.$ 证明存在 $V$ 上的线性变换 $A$⁠，使 $A(V)=V_1,A^{-1}(0)=V_2.$

设 $J=J_n(\lambda )=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right)$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶 Jordan 块，并令...

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 1& 0\\ -1& 2& -1& 0\\ 1& -1& 2& 0\\ 2& a& b& 1\end{array}\right)$ 在复数域上可对角化。 (1) 求 $A$ 的特征多项式； (2) 确定 $a,b$⁠； (3) 求可逆矩阵 $P$⁠，使 $P^{-1}AP$ 为对角阵。

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设 $A$ 是实数域上的 $n$ 阶方阵，$\alpha \in {\mathbb{R}}^n$⁠。证明 $A-\alpha {\alpha }^T$ 正定，当且仅当 $A$ 正定且 ${\alpha }^T{A}^{-1}\alpha <1.$

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设 $N$ 是 $n$ 阶幂零矩阵，即存在自然数 $k$ 使 $N^k=O$⁠。 (1) 证明 $N+I$ 可逆； (2) 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵且 $AN=NA$⁠，证明 $A+N$ 可逆。

讨论参数 $\lambda$ 取何值时，线性方程组 $\{\begin{array}{l}-\lambda x_1+2x_2-2x_3=1,\\ 2x_1+(3-\lambda )x_2-4x_3=2,\\ -2x_1-4x_2+(3-\lambda )x_3=-\lambda -3\end{array}$ 有唯一解、无解或有无穷多解；在有无穷多解时求通解。

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$⁠，且每一行、每一列元素之和均为零： ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=0,{\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}=0.$ 证明 $A$ 的所有元素的代数余子式都相等。

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设 $f(x)$ 是非零整系数多项式。证明： (1) 对任意整数 $a$⁠，存在整系数多项式 $q(x)$ 和整数 $r$⁠，使 $f(x)=(x-a)q(x)+r;$ (2) 如果有两两不同的整数 $a,b,c$⁠，使 $|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1,$ 则 $f(x)$ 没有整数根。

设 $f_n(x)=nx{e}^{-n^2{x}^2},x\in [0,1],n=1,2,\dots .$ 证明或判断： (1) $f_n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $0$⁠； (2) $f_n$ 是否在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$⁠； (3) $f_n$ 在 $[0,1]$...

设 $u=x+y,v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y},$ 试用新变量 $u,v$ 变换等式 $x^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}-(x^2+y^2)\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+y^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0,$ ...

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设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=k.$ 证明对 $a>0,b>0$⁠， ${\int }_0^{+\infty }\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=[f(0)-k]\ln \frac{b}{a}.$

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设反常积分 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ 有意义(有限数或 $+\infty$ 或 $-\infty$)。证明 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0.$