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设 $V_1,V_2$ 是数域 $F$ 上有限维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\dim V_1=\dim V_2.$ 证明存在 $V$ 的子空间 $W$⁠，使 $V=V_1\oplus W=V_2\oplus W.$

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在 ${\mathbb{R}}^4$ 的标准内积空间中，令 $\alpha =(1,2,1,1{)}^T,\beta =(-2,0,0,1{)}^T,V=\mathrm{span}(\alpha ,\beta ).$ (1) 求 $V^{\perp }$ 的一组基； (2) 求 $\gamma =(3,4,-2,2{)}^T$...

设 $x_1,x_2,x_3$ 是多项式 $f(x)=x^3-ax+2$ 的三个复根，其中 $a$ 是整数。 (1) 求 $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ x_2& x_3& x_1\\ x_3& x_1& x_2\end{array}\right|;$ (2) 若 $f(x)$ 在有理数域上可约，求 $a$⁠；...

已知向量组 $\begin{array}{rl}\mathrm{I}:& {\alpha }_1=(1,1,4{)}^T,{\alpha }_2=(1,0,4{)}^T,{\alpha }_3=(1,2,a^2+3{)}^T;\\ \mathrm{II}:& {\beta }_1=(1,1,a+3{)}^T,{\beta }_2=(0,2,1-a{)}^T,{\beta }_3=(1,3,a^2+3{)}^T.\end{array}$ ...

设复方阵 $A$ 的初等因子组为 $\lambda ,{\lambda }^2,{\lambda }^3,(\lambda -1{)}^2,\lambda +2,(\lambda +2{)}^2.$ 求 $A$ 的最小多项式。

设正交矩阵 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$⁠。实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 在线性替换 $X=PY$ 下化为 $3y_1^2+2y_2^2-y_3^2.$ 令 $Q=(-{\alpha }_3,{\alpha }_1,{\alpha }_2)$⁠。求该二次型在线性替换 $X=QY$ 下的标准型。

求多项式 $x^{2025}+1$ 除以 $(x-1{)}^2$ 的余式 $r(x)$⁠。

设四阶方阵 $A$ 满足 $A^4+3A^2+2I=3A^3+3A,$ 且伴随矩阵 (A-I)^⁠、(A-2I)^ 的秩均为零。求 $\mathrm{tr}(A^2)$⁠。

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设 $A,B,C,D,E,F$ 都是三阶实方阵，且 ${\left(\begin{array}{ccc}{I}_3& A& C\\ O& I_3& B\\ O& O& I_3\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{I}_3& D& F\\ O& I_3& E\\ O& O& I_3\end{array}\right).$ 已知...

设 $2025$ 阶方阵 $A,B$ 的秩均为 $2020$⁠。求 $r(AB)$ 的最小值。

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n>a_{n+1}>0,{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n<\infty .$ (1) 证明 ${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n=0$⁠； (2) 证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n(a_n-a_{n+1})$ 收敛。

设 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\{nx\}}{n^2},$ 其中 $\{nx\}$ 表示 $nx$ 的小数部分。 (1) 求 $f$ 的间断点； (2) 证明 $f$ 在任意有界闭区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。

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