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求 $(\partial {\mathbb{Q}}^2{)}^{\circ }.$

Laplace 算子 $\Delta f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ 在极坐标变换 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,0\le \theta <2\pi$ 下的表达式是什么？

已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0),\end{array}$ 求...

求函数 $f(x,y)=x^3-x^2-xy+y^2$ 的极值点。

计算 ${\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin x)dx.$

计算 ${\lim }_{x\to 0}{\left(\frac{2x^2+1}{2x+1}\right)}^{1/x}.$

设 $f(x)=x^2{e}^x$⁠，求 $f^{(10)}(0)$⁠。

设 $x_n>0$⁠，且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=1$⁠。求 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}.$

设 $B,C$ 都是 $n$ 阶复矩阵。 (1) 若矩阵方程 $BX=XC$ 有非零解，证明 $B,C$ 有公共特征值； (2) 若 $B,C$ 有公共特征值，证明 $BX=XC$ 有非零解。

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设 $A\in {\mathbb{C}}^{2\times 2}$⁠， $f(X,Y)=X^{T}AY$ 是复数域上二维列空间 ${\mathbb{C}}^2$ 上的对称双线性函数。证明存在非零列向量 $\alpha \in {\mathbb{C}}^2$⁠，使 $f(\alpha ,\alpha )=0.$

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，非零向量 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$ 是 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。证明线性方程组 $(A-\lambda I)X=\alpha$ 无解。

证明多项式 $f(x)=x^4-10x^2+1$ 在有理数域上不可约。