题库浏览

设 $f(x)$ 是有两个不同实根 $x_1,x_2$ 的实系数二次多项式，$\mathcal{A}$ 是实线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathcal{A}\ne x_1\mathcal{E},\mathcal{A}\ne x_2\mathcal{E},f(\mathcal{A})=\mathcal{O}.$ ...

在数域 $\mathbb{F}$ 上的 ${\mathbb{F}}^4$ 中，令 $V_1=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\},$ 其中...

设 Euclid 空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 保持某一组基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 中每个向量的长度，即 $(\mathcal{A}{\alpha }_i,\mathcal{A}{\alpha }_i)=({\alpha }_i,{\alpha }_i).$ 问 $\mathcal{A}$...

设 $A=(a_{ij})$ 是三阶实对称方阵，$A^{\ast }$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 是三阶单位矩阵。令 $f(x_1,x_2,x_3)=\det \left(\begin{array}{cccc}0& x_1& x_2& x_3\\ -x_1& a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ -x_2& a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ -x_3& a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right).$ ...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

求六阶实方阵 $A=\left(\begin{array}{cccccc}a& -b& 0& 0& 0& 0\\ -b& a& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& a& -b& 0& 0\\ 0& 0& -b& a& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& a& -b\\ 0& 0& 0& 0& -b& a\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准形。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $V$ 是有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的三维线性空间，$\mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，满足 $\mathcal{A}(\alpha )=\beta ,\mathcal{A}(\beta )=\gamma ,\mathcal{A}(\gamma )=\alpha +\beta .$ 证明：若...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+5x_3=0,\\ x_1+x_2+a{x}_3=0\end{array}$ 和 $\{\begin{array}{l}{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0,\\ 2x_1+b^2{x}_2+(c+1)x_3=0\end{array}$ 同解，求...

已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ -a& 1& c\\ -b& -c& 1\end{array}\right)$ 是三阶实方阵。证明矩阵方程 $A^{2}X-XA-X=O$ 只有零解。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $n\ge 2$⁠，计算多项式函数 $f(x)=\det (a_{ij}+x{)}_{n\times n}$ 的一阶导数 $f^{\prime }(x)$⁠。

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、非负且严格单调递增。由积分中值定理，对每个正整数 $k$⁠，存在 $x_k\in [a,b]$⁠，使 $f^k(x_k)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^b{f}^k(x)dx.$ 证明 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=b.$

设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的凸函数且有上界。证明 $f(x)$ 为常数。

计算曲面积分 $I={\iint }_S\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2{)}^3}},$ 其中 $S$ 为椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=1$ 的外侧。