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计算： 1. 极限 ${\lim }_{n\to \infty }{n}^2\left(\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2}\right);$ 2. 广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{e^{2x}-e^x}{x}dx.$

解答下列问题： 1. 证明含参变量 $y$ 的广义积分 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\frac{\sin x}{x}dx$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致收敛； 2. 证明在 $(0,+\infty )$ 上，含参变量 $y$ 的广义积分...

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判断下列命题的正误；正确的给出证明，错误的给出反例。 1. 若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 收敛，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x_n}{n}$ 也收敛； 2. 若连续函数列 $\{f_n(x){\}}_{n=1}^{\infty }$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于连续函数...

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设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续的一阶导函数。 1. 证明对任意 $x\in [0,1]$⁠，有 $|f(x)|\le {\int }_0^1|f(t)|dt+{\int }_0^1|f^{\prime }(t)|dt;$ 2. 证明...

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解答下列问题： 1. 已知数列 $\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足 $|x_{n+1}-x_n|<r|x_n-x_{n-1}|,n=2,3,\dots ,$ 其中 $0<r<1$ 为常数。证明 $\{x_n\}$ 收敛； 2. 若将第(1)问中的常数 $r$ 换成...

设 $S$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中的光滑封闭曲面，取外侧，考虑第二类曲面积分 $I={\iint }_S(x^3+y^{2025})dydz+(2y^3+y+z^{2024})dzdx+(3z^3-4z-1929x)dxdy.$ 1. 确定曲面 $S$ 的方程，使 $I$ 的值最小，并求最小值；...

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计算极限 ${\lim }_{x\to +\infty }x\left[\frac{1}{e}-{\left(\frac{x}{1+x}\right)}^x\right].$

设 $f(x)$ 非负且二阶可导，并存在 $M>0$ 使 $|f^{\prime \prime }(x)|\le M.$ 证明 $f^{\prime }(x)\le \sqrt{2Mf(x)}.$

设 $f(x)=\sin \frac{2}{x}.$ 证明 $f(x)$ 在 $(a,+\infty )$($a>0$)上一致连续，在 $(0,+\infty )$ 上不一致连续。

设 $u=f\left(\ln \sqrt{x^2+y^2}\right),\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=(x^2+y^2{)}^{3/2},$ 求 $f(t)$ 的表达式。

求幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 的收敛半径、收敛点集和和函数。

解答下列问题： 1. 证明： $e^{-x}+e^x>x^2-2,x\ne 0;$ 2. 若 $f(x)$ 连续，且 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(5x)-f(x)}{x}=3,$ 证明 $f$ 在 $0$ 处可导，且 $f^{\prime }(0)=\frac{3}{4}.$

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