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设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，向量 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 能线性表示 $V$ 中的任意向量。证明 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的一组基。

设 $A=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{2}\\ 1& 0\end{array}\right),\mathbb{Q}[A]=\{f(A):f(x)\in \mathbb{Q}[x]\}.$ 证明 $\mathbb{Q}[A]$ 中的每个非零矩阵都可逆。

设 $A,B,C,D$ 为同阶方阵，计算并证明： (1) $\left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right|=|A+B||A-B|;$ (2)...

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设 $f(x_1,\dots ,x_n)$ 为交错多项式。证明： (1) 对任意 $i\ne j$⁠，$x_i-x_j\mid f$⁠； (2) Vandermonde 多项式 $\Delta ={\prod }_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)$ 为交错多项式； (3) 存在对称多项式 $g$⁠，使 $f=g\Delta$⁠。

证明自然数 $e$ 为无理数。

设 $\{b_n\}$ 是严格单调递增且趋于 $+\infty$ 的数列，并且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A\in \mathbb{R}.$ (1) 证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=A;$ (2) 对正整数 $k$⁠，求...

设 $B$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的单位开球，函数 $u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ 满足： (i) $u$ 是 $B$ 上的非零函数； (ii) $u{|}_{\partial B}=0$⁠； (iii) 存在 $\lambda \in \mathbb{R}$⁠，使得在 $B$ 上...

若函数 $f\in C[0,1]$⁠，且 ${\int }_0^1{e}^{nx}f(x)dx=0,n=0,1,2,\dots ,$ 证明 $f(x)=0$⁠。

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设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}A,& 0\le x\le \pi ,\\ -A,& -\pi \le x<0,\end{array}A\ne 0.$ 求该函数在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的 Fourier 级数，并证明...

讨论 $\sin (1/x^2)$ 在 $(0,1]$ 与 $[1,\infty )$ 上的一致连续性。

设 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的连续函数，且在原点沿任意方向的方向导数存在。问 $f$ 在原点是否一定可微；若是则证明，若否给出反例。

已知 $n$ 阶方阵 $A$ 与 $B$ 的秩相等，且 $A^{2}B=A.$ 证明 $B^{2}A=B.$

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