题库浏览

设 $f$ 在 $(0,\infty )$ 一致连续，且对每个固定 $x>0$⁠，$f(x+{\lambda }_n)\to 0$⁠。证明在任意 $[a,b]\subset (0,\infty )$ 上一致收敛。

设对每个 $x\in \mathbb{R}$⁠，存在 ${\delta }_x>0$⁠，使所有 $x_1\in (x-{\delta }_x,x)$⁠、$x_2\in (x,x+{\delta }_x)$ 都有 $f(x_1)>f(x)>f(x_2)$⁠。证明 $f$ 严格递减。

设 $f\in C^2[0,a]$⁠，$f^{\prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(0)\ne 0$⁠，且 $0<f(x)<x$ 对 $x\in (0,a)$⁠。令 $x_{n+1}=f(x_n)$⁠。证明收敛并研究 $n{x}_n$⁠。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $u$ 二阶偏导连续，满足 $u_{xx}-u_{yy}=0,u(x,2x)=x,u_x(x,2x)=x^2.$ 求 $u_{xx},u_{xy},u_{yy}$ 在 $(x,2x)$ 处的值。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1+\cos x-\cos x\cos (2x)-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln (1-x)+\ln (1+x)}.$

求所有 $n\ge 2$⁠，使 $\frac{3}{2}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-2{\sum }_{i=1}^n{x}_i{x}_{i+1}+\frac{1}{2n}{\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i\right)}^2,x_{n+1}=x_1$ 为半正定二次型。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

给定首行为实系数多项式 $a_{11},\dots ,a_{1n}$⁠，且最大公因式为 $1$⁠。能否补成 $A\in M_n(\mathbb{R}[x])$ 使 $\det A=1$⁠？

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

复内积空间 $V$ 上是否存在非零线性变换 $\phi$⁠，使对所有 $x\in V$ 都有 $⟨\phi x,x⟩=0$⁠？

给定 $d_{ij}\in \mathbb{R}(i<j)$⁠，并对任意互异 $i,j,k,l$ 满足 $d_{ij}{d}_{kl}-d_{ik}{d}_{jl}+d_{il}{d}_{jk}=0.$ 问是否存在两行向量，使全部 $d_{ij}$ 是相应二阶子式。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

讨论系统 $x^{\prime }=y-f(x),y^{\prime }=-g(x)$ 在 $(0,0)$ 的 Lyapunov 稳定性，其中 $xf(x)>0,xg(x)>0(x\ne 0)$⁠。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

验证 $y(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{(3n)!}$ 满足 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=e^x$⁠，并求闭式。

计算 ${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\iint }_{x^2+xy+y^2\ge {\epsilon }^2}\frac{1}{x^2+y^2}\sin \frac{1}{x^2+y^2}dxdy,$ 并说明合理性。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能