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设 $\Omega$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界区域，函数 $f$ 在 $\overline{\Omega }$ 上连续。对满足 $U\subseteq \Omega$ 的任意开集 $U$⁠，像集 $f(U)=\{f(x):x\in U\}$ 都是 $\mathbb{R}$ 的开子集。证明...

设 $L$ 为闭区域 $D=\{(x,y):0\le x\le 1,x^3\le y\le \sqrt[3]{x}\}$ 的边界，取逆时针方向。计算 $I={\int }_L(x^{3}y+e^y+\ln (e^x+e^y))dx+(2x-2y+x{y}^3+x{e}^y)dy.$

设常数 $a>0$⁠，计算 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\cos (\ln x)}{x^{a+1}}dx.$

将二次曲面 $3x^2+3y^2+5z^2+2xy-2yz-2xz+2x+10y+6z+7=0$ 化为标准方程，写出所用的坐标变换，并说明曲面的类型。

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求过原点、与椭圆柱面 $x^2/25+y^2/16=1$ 相交成圆的平面。

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求单叶双曲面 $x^2/9+y^2/16-z^2/4=1$ 过 $(3,4,2)$ 的两条直母线及夹角。

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完成下列填空： (1) 设 $v=(-1,1,0)$⁠、$w=(1,1,1)$⁠，求 $v\times (v\times (v\times (v\times w))).$ (2) 求两直线...

设 $A$ 正定对称，证明 $({\alpha }^T\beta {)}^2\le ({\alpha }^{T}A\alpha )({\beta }^T{A}^{-1}\beta )$ 并判定等号。

线性映射 $T:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R})$⁠，$T(X)=(X+X^T)/2$⁠。求核与秩。

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 2\\ 2& 0& 2& 1\\ 3& 1& 4& 0\end{array}\right).$ 求方程 $(x_1,x_2,x_3,x_4)A^{T}A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=0$ 的全部实解。

设 $A=J_3(\lambda )$⁠。证明与 $A$ 可交换的每个三阶矩阵都是 $A$ 的多项式。

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，且 ${\beta }_1=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\beta }_2=-{\alpha }_1+3{\alpha }_2+4{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_1+{\alpha }_3.$ 判断...