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(15 分)设实数 $a_n>0(n=1,2,\dots ),$ 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散。记 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n.$ 证明： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{S_n}$ 发散。

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设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $U$ 是 $\phi$ 的不变子空间，证明：$U^{\perp }$ 是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。

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已知 $J$ 是所有元素为 $1$ 的 $n$ 阶矩阵， $f(x)=a+bx$ 是有理系数多项式，且 $A=f(J).$ (1) 求 $J$ 的所有特征值及特征向量。 (2) 求 $A$ 的所有特征子空间。 (3) 判断 $A$ 是否可以对角化？即是否存在可逆矩阵 $P$⁠，使得 $P^{-1}AP$...

已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2025& 24& 0\\ 23& 0& 0\end{array}\right),$ 证明：矩阵方程 $X^2=A$ 无解，其中 $X$ 为 $3$ 阶矩阵。

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已知 $f(X)=X^{T}AX$ 是关于 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的一个 $n$ 元实二次型，且实对称矩阵 $A$ 的所有特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n.$ 证明：$f(X)$ 在条件 $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1$ ...

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已知 $x=yz$⁠，求行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1+x& z& & & \\ y& 1+x& z& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & y& 1+x& z\\ & & & y& 1+x\end{array}\right|.$

计算 ${\iint }_D\sqrt{|y-x^2|}dxdy,D=\{(x,y)\mid x^2\le y\le 2\}.$ 核查说明：第 7 题与第 6(2) 在当前页面上完全重复，疑似原 PDF 排版重复或漏题。

设 $z=z(x,y)$ 二阶连续可微，求 $a$ 的值，使得通过 $u=x+3y,v=x+ay$ 将 $6z_{xx}+z_{xy}-z_{yy}=0$ 化为 $z_{uv}=0.$

解答如下问题： (1) 若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=a,$ 则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a.$ (2) 若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上可导，且...

判断题。正确的给出证明，错误的给出反例。 (1) 任何数列都有单调的子列。 (2) 若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n})$ 收敛，且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0,$ 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。 (3) 设 $f(x)$...

计算题。 (1) 求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\ln n-{\sum }_{k=1}^n\frac{\ln k}{n}\right).$ (2) 求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^x-\cos \frac{x}{2}}{x\left(\sin x-\sin \frac{x}{2}\right)}.$ (3)...

解方程组 $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-4x-2y+\frac{2}{e^t-1},\\ y^{\prime }=6x+3y-\frac{3}{e^t-1},\end{array}$ 其中 $x,y$ 是关于 $t$ 的函数。