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(15 分)设 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -15& 6\\ 1& -4& 2\\ 1& -5& 3\end{array}\right)\in M_3(\mathbb{C}).$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $g(\lambda )$⁠。

(15 分)设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),$ 求正交矩阵 $P$ 及对角矩阵 $D$⁠，使得 $P^{T}AP=D.$

(15 分)实矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -4\\ -2& x& -2\\ -4& -2& 1\end{array}\right)$ 与对角阵 $\Lambda =\mathrm{diag}\{5,-4,y\}$ 相似，求 $x,y$ 的值。

(15 分)下面行列式 $d(x)=\left|\begin{array}{cccc}2x& x& 1& 2\\ 1& x& 1& -1\\ 3& 2& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{array}\right|$ 中 $x^k$ 的系数记为 $a_k$⁠，求 $a_2$ 及 $a_3$⁠。

(15 分)令 $B_R=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2\mid x_1^2+x_2^2\le R^2\}$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中半径为 $R$ 的闭球，$R>0$⁠。设 $f(x)$ 是 $B_2$ 上的连续函数，满足条件：对任意 $x,y\in B_2$⁠，成立...

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(15 分)设函数列 $\{a_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上有定义，且存在不依赖于 $x,n$ 的常数 $K$⁠，使得 $|a_1(x)|\le K,{\sum }_{n=1}^m|a_n(x)-a_{n+1}(x)|\le K,\forall m\ge 1.$ 证明：如果级数...

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(15 分)设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续，且对任意固定的 $x\in [0,1]$⁠，有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x+n)=0.$ 证明：函数列 $\{f(x+n)\mid n\ge 1\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$⁠。

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(15 分)计算积分 $I(b)={\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{b+\tan x},b>0.$

(15 分)证明：函数 $f(x)=x\cos \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上一致连续。

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(每题 5 分，共 60 分)填空题。 (1)求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}.$ (2)设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln (xy)=x^2-y^2$ 隐式定义，求点 $(x,y)=(1,1)$ 处的导数...

(10 分)证明：对任意正整数 $m,n$⁠，必存在 $2025$ 阶方阵 $X$⁠，使得 $X^m+X^n=\left(\begin{array}{cccccc}2& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 2& 2& 0& \cdots & 0& 0\\ 3& 2& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 2024& 2023& 2022& \cdots & 2& 0\\ 2025& 2024& 2023& \cdots & 2& 2\end{array}\right).$ ...

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(15 分)设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的不可逆非幂零线性变换。证明：存在 $\sigma$-子空间 $V_1,V_2$⁠，满足 $V=V_1\oplus V_2,$ 且 $\sigma {|}_{V_1}$ 为可逆变换，$\sigma {|}_{V_2}$ 为幂零变换。

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