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(15 分)设 $f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ 是数域 $P$ 上的不可约多项式，$\phi$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换。若 $V$ 中的非零向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 满足...

(15 分)设 $A$ 为实矩阵，满足 $A^2=A.$ 证明： (1)$A$ 可对角化。 (2)存在实对称矩阵 $B$ 和正交矩阵 $C$⁠，使得 $A=BC.$

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(15 分)设 $A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$ 为 $3$ 阶实对称矩阵，$a_{ij}=A_{ij}(i,j=1,2,3)$⁠，其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。若 $a_{33}=1$⁠，求线性方程组...

(15 分)设 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right),$ 满足 $PXP+QXQ=PXQ+QXP+P^2-PQ.$ 求 $X$⁠。

(每题 5 分，共 50 分)填空题。 (a)设 $n$ 阶方阵 $A$ 的列分块形式为 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n),\det (A)=1,$ 令...

(20 分)设 $f$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上连续，$a_n(n=1,2,\dots )$⁠、$b_n(n=1,2,\dots )$ 为 $f$ 的 Fourier 系数。证明：级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n}$ 和...

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(20 分)设 $V$ 是由球面 $x^2+y^2+z^2=2az$ 与 $x^2+y^2+z^2=az$ 所围立体。计算 ${\iiint }_{V}zdxdydz.$

(20 分)记 ${\mathbb{R}}^3$ 中的点为 $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3).$ ${\mathbb{R}}^3$ 中以原点为圆心、$r>0$ 为半径的开球记为 $B_r$⁠，其边界为 $\partial B_r$⁠。设 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ 具有连续的偏导数，且满足...

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(20 分)设 $f(x),g(x)$ 是定义在 $[0,+\infty )$ 上的非负连续函数，且满足 $f(x)\le {\int }_0^{x}f(s)g(s)ds,\forall x\ge 0.$ 证明： $f(x)\equiv 0,\forall x\ge 0.$

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(20 分)设 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上存在三阶连续导数，且 $f(x)$⁠、$f^{\prime \prime \prime }(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界。证明：$f^{\prime }(x)$⁠、$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界。

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(20 分)设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的连续可微函数，且满足 $f(0)=0,f(1)=1.$ 证明： ${\int }_0^1|f(x)-f^{\prime }(x)|dx\ge \frac{1}{e}.$

(15 分)设 $x_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln (n+1)(n=1,2,\dots ).$ 证明： ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ 存在。

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