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设函数 $f(x)$ 及导数在 $[0,1]$ 上连续，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内二阶可导，且满足 $f(0)=0,f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2},f(1)=0.$ 证明：存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使得 $f^{\prime \prime }(\xi )=-4.$

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设 $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ 为连续函数。证明：$f$ 的像是 $\mathbb{R}$ 上的有界闭区间。

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1. 若 $x=t^3+1,y=\ln (1+t),$ 求 ${\frac{dy}{dx}|}_{t=1}.$ 2. 求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\int }_x^{x^3}\ln (1+t^2)dt}{x^3}.$ 3. 求积分...

设 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 上可相似对角化， $\phi (X)=AXA$ 为 $M_n(\mathbb{C})$ 上线性变换。证明：$\phi$ 在 $M_n(\mathbb{C})$ 上存在一组基，使其表示阵为对角阵。

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设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 与 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_m$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上两向量组，定义 $(x,y)=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上内积，且...

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设 $A$ 为实对称矩阵，$p\in {\mathbb{N}}_{+}$⁠。证明：$A$ 的正惯性指数大于等于 $p$ 当且仅当在 ${\mathbb{R}}^n$ 上有一个 $p$ 维子空间 $W$⁠，使得 $\forall x\in W,x\ne 0,x^{T}Ax>0.$

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若 $A,B$ 分别为 $m\times l$⁠、$n\times l$ 矩阵。证明：$A$ 的行向量组由 $B$ 的行向量线性表出当且仅当 $BX=0$ 的解均为 $AX=0$ 的解。

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设 $A\in M_{m\times n}(\mathbb{C}),B\in M_{n\times s}(\mathbb{C}),C\in M_{s\times t}(\mathbb{C}).$ 证明：...

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设 $\alpha ,\beta$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上向量。证明： $E_n+\alpha {\beta }^T$ 可逆当且仅当 $1+{\alpha }^T\beta \ne 0,$ 并求 $E_n+\alpha {\beta }^T$ 的逆。

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求 $n$ 阶方阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}0& -1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& -1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& -1\\ -1& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$ 的特征值与特征子空间。

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当 $\lambda ,\mu \in \mathbb{Q}$ 取何值时，方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ x_2+2x_3+2x_4=1,\\ -x_2+\lambda x_3-2x_4=\mu ,\\ 3x_1+2x_2+x_3+(\lambda +3)x_4=-1\end{array}$ ...

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若 $f_i(x)=1+x+\cdots +x^{i-1}(i=1,2,\dots ,n),$ 计算行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccc}{f}_1(1)& \cdots & f_1(n)\\ f_2(1)& \cdots & f_2(n)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ f_n(1)& \cdots & f_n(n)\end{array}\right|.$ ...