题库浏览

若 $f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x& 0& 0& 0& 9\\ -1& x& 0& 0& 33\\ 0& -1& x& 0& 19\\ 0& 0& -1& x& 12\\ 0& 0& 0& -1& x+6\end{array}\right|,$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中将 $f(x)$ 分解为不可约因式之积。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

求三重积分 ${\iiint }_S(x+y)dxdydz,$ 其中 $S$ 由 $x=0,x=1,x^2+1=\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}$ 围成。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=S$ 收敛。 (1) 求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n}{n}.$ (2) 证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n}{n(n+1)}$ ...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

已知方程 $ky-\sin y+x\cos y=0,k>1.$ (1) 证明：对任意的 $|x|<k-1$⁠，$|y|<+\infty$⁠，能唯一确定函数 $y=y(x)$⁠。 (2) 求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{y(x)}{x}.$

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可微，且满足 $f(0)=f(1)=0,f(x)\ne 0,x\in (0,1),$ 证明： ${\int }_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f(x)}\right|dx>4.$

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且满足 $f(0)f(1)>1,f^{\prime \prime }(x)>0,{\int }_0^{1}f(x)dx=0.$ (1) 证明：$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恰有两个零点。 (2) 证明：至少存在一点 $\xi \in (0,1)$⁠，使得...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

求极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}\sin \frac{k\pi }{n}.$

设 $f$ 是 $n$ 阶方阵全体构成的集合到数集上的映射，满足对任意的 $n$ 阶方阵 $A$⁠、任意的 $1\le j\le n$⁠、任意常数 $c$⁠，有： (1) 若 $A$ 的第 $j$ 列等于 $B$ 和 $C$ 的第 $j$ 列之和，且 $A$ 的其余列与 $B,C$ 的对应列完全相同，则...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $x_1,x_2,\dots ,x_k$ 和 $y_1,y_2,\dots ,y_k$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组。证明：存在正交变换 $\phi$ 使得 $\phi (x_i)=y_i,i=1,2,\dots ,k,$ 的充要条件是...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $A,B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A$ 的特征值全属于 $(a,b)$⁠，$B$ 的特征值全属于 $(c,d)$⁠，其中 $a,b,c,d>0$⁠。证明： (1) $A+B$ 的特征值全属于 $(a+c,b+d)$⁠。 (2) $AB$ 的特征值全属于 $(ac,bd)$⁠。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $P_m$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $P_m$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 为 $\mathcal{A}(f(x))=f(x+1)-f(x).$ (1) 写出 $\mathcal{A}$ 关于基底 $1,x,\dots ,x^m$ 的矩阵 $A$⁠。 (2) 求 $A$ 的 Jordan...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设线性变换 $\mathcal{A}:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ 在标准基下的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right).$ (1) 将二次型 $f(X)=X^{T}AX$ 化为标准形。 (2) 设...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能