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设 $A$ 为 $n$ 阶上三角矩阵， $a_{ij}=j-i+1(j\ge i),a_{ij}=0(j<i),$ 即...

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设 $V$ 为 $n$ 维内积空间， $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ 与 $\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ 均为 $V$ 的标准正交基。设 $\sigma$ 为 $V$ 上的等距变换，且 $[\sigma (u_1),\sigma (u_2)]=[v_1,v_2],$ 其中...

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设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $A^2=A.$ 1. 证明 $A$ 可对角化。 2. 证明 $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{rank}(A).$

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设 $f(x)$ 为非常数复系数多项式，$\mathrm{deg}f>0$⁠，且 $f(x^2)\mid f(x^4).$ 证明：$f(x)$ 的所有非零根都在复平面上的同一个圆上。

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设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上四次连续可微，设 $g(x)=\frac{f(0)}{2}(x-1)(x-2)-f(1)x(x-2)+\frac{f(2)}{2}x(x-1).$ 1. 证明：任给 $x\in [0,2]$⁠，都存在 $\xi \in (0,2)$⁠，使得...

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设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上有定义，且存在常数 $L$⁠，使得对任意 $x_1,x_2\in [1,+\infty )$ 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|\le L|x_1-x_2|.$ 试证存在 $X\in [1,+\infty )$⁠，使得...

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讨论参数 $p$ 对广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\cos \left(x-\frac{1}{x}\right)}{x^p}dx$ 的敛散性影响：何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散。

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求数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(2n-1)}{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n$ 的和。

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证明函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\sin nx\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 在 $(0,2\pi )$ 上逐点收敛但不一致收敛。

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当 $x,y,z$ 都大于 $0$ 时，求 $u=\ln x+2\ln y+3\ln z$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=6$ 上的最大值。

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(1) 计算 ${\lim }_{n\to \infty }{n}^3\left[\sin \left(\tan \frac{1}{n}\right)-\sin \frac{1}{n}\right].$ (2) 计算 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sqrt[n]{(3n)!}}{n^3}.$ (3) 计算...

已知 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，证明存在唯一的正定矩阵 $C$⁠，使得 $A=C^2.$

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