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设复数 $c$ 是 $\mathbb{Q}[x]$ 上某多项式的根，令 $J=\{f(x)\in \mathbb{Q}[x]\mid f(c)=0\}.$ 证明：存在以 $c$ 为根的首一多项式 $p(x)$⁠，使对任意 $f\in J$⁠，均有 $f(x)=p(x)q(x),q(x)\in \mathbb{Q}[x].$

设 $f(x)=4x^3-21x-2019$⁠。 1. 证明 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约； 2. 若 $\alpha$ 是 $f$ 的一个复根，记 $\mathbb{Q}[\alpha ]=\{a_0+a_1\alpha +a_2{\alpha }^2\mid a_i\in \mathbb{Q}\},$ 证明对任意...

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设 $a,b$ 是互异常数。 1. 求 $f(x)$ 除以 $(x-a)(x-b)$ 的余式； 2. 求 $x^4+x^3+x+1$ 除以 $x^2-1$ 的商和余式； 3. 求 $10001000000010001$ 除以 $99999999$ 的商和余数。

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是多项式 $x^3+p{x}^2+qx+r$ 的三个根，其中 $r\ne 0$⁠。求 $\frac{1}{{\alpha }_1^2}+\frac{1}{{\alpha }_2^2}+\frac{1}{{\alpha }_3^2}.$

设 $n$ 是正整数，写出 $x^{2n+1}$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上的标准分解式。

多项式 $f(x)=x^5-x^3-4x^2-3x-2$ 在 $\mathbb{R}$ 上是否有重根？若有，求出重根。

证明：有理数域 $\mathbb{Q}$ 上次数大于1的多项式 $f(x)$ 恒可表示为两个不可约有理系数多项式之和。

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设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠，$f(x)\in \mathbb{C}[x]$⁠，$g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，且 $(f,g)=d(x)$⁠。证明： $1.$ $\mathrm{rank}f(A)=\mathrm{rank}d(A)$⁠； $2.$ $f(A)$ 可逆当且仅当...

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设 $f(x)=x^2+x+1,g(x)=x^3-x^2.$ 求次数最低的多项式 $h(x)$⁠，使 $f(x)\mid h(x),g(x)\mid h(x)+3.$

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证明多项式 $f(x)={\prod }_{i=1}^{18}(x-i)+23$ 在有理数域上不可约。

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设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的最小多项式为 $m(\lambda )$⁠，且 $m(\lambda )\mid h(\lambda ),h(\lambda )=[f(\lambda ),g(\lambda )]$ (方括号表示最小公倍式)。证明 $r(f(A))+r(g(A))\le n.$

1. 设多项式 $g(x),h(x)$ 互素，证明 $\gcd (fh,g)=\gcd (f,g).$ 2. 设 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 为整系数多项式。证明：若 $ac+bc$ 为奇数，则 $f(x)$ 在有理数域上不可约。