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设线性方程组 $AX=b$ 有唯一解，其中 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵且 $m\ge n$⁠。证明：$A^{T}A$ 可逆，且唯一解为 $(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b.$

设 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$⁠，$v_1,\dots ,v_n\in {\mathbb{R}}^n$⁠。证明 $A{v}_1,\dots ,A{v}_n$ 线性无关的充要条件是 $A$ 可逆且 $v_1,\dots ,v_n$ 线性无关。

已知 $\det \left(\begin{array}{ccc}1& -3& -4\\ 3& 7& 8\\ x& y& z\end{array}\right)=1.$ 求： $D_1=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 7& 8\\ 1+x& 1+y& 1+z\end{array}\right),$ ...

计算 $n$ 阶行列式，其中主对角元均为3，非对角元均为1。

计算行列式 $\det \left(\begin{array}{cccc}1+x_1{y}_1& x_1{y}_2& \cdots & x_1{y}_n\\ x_2{y}_1& 1+x_2{y}_2& \cdots & x_2{y}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n{y}_1& x_n{y}_2& \cdots & 1+x_n{y}_n\end{array}\right).$

对于 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 9& 2& 4\\ 1& 9& 2& 6\\ 2& 0& 0& 1\\ 2& 0& 2& 3\end{array}\right),$ 以 $M_{ij}$ 表示 $(i,j)$ 元素的余子式，求 $M_{21}-2M_{22}-3M_{23}+4M_{24}.$

计算行列式 $D=\det \left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 1& 2& 3& 4\\ 3& 2& 1& 2& 3\\ 4& 3& 2& 1& 2\\ 5& 4& 3& 2& 1\end{array}\right).$

计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\det (|i-j|{)}_{1\le i,j\le n}.$

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计算以 $i=2,3,\dots ,2023$ 为行指标、以 $j=2,3,\dots ,2023$ 为列指标的行列式 $D=\det (i^j-i).$

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计算 $D_n=\det \left(\begin{array}{ccccc}1+a& 2& 3& \cdots & n\\ 1& 2+a& 3& \cdots & n\\ 1& 2& 3+a& \cdots & n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 2& 3& \cdots & n+a\end{array}\right).$

设 $D=\det \left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ -b& a& -d& c\\ -c& d& a& -b\\ -d& -c& b& a\end{array}\right).$ 1. 求第一行第一列元素的余子式； 2. 求 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$⁠； 3. 求行列式 $D$⁠。

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计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\det \left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 2& \cdots & n\\ 1& 2^2& \cdots & n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 2^{n-2}& \cdots & n^{n-2}\\ 1& 2^n& \cdots & n^n\end{array}\right).$

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