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设 $m$ 为非负整数，$g(x)\in \mathbb{Q}[x]$ 为 $m$ 次多项式，$n>m$ 为正整数，$p$ 为素数。证明： 1. 若 $f(x)$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的不可约多项式，且 $g$ 与 $f$ 至少有一个复公共根，则 $f\mid g$⁠； 2. $\sqrt[n]{p}$ 不是...

求 $x^5-1$ 在实数域和复数域上的标准因式分解。

参数 $\mu$ 为何值时，齐次方程组 $\{\begin{array}{l}\mu x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ x_1+\mu x_2+x_3+x_4=0,\\ x_1+x_2+\mu x_3+x_4=0,\\ x_1+x_2+x_3+\mu x_4=0\end{array}$ 只有零解？

计算 $n+1$ 阶行列式 $D_{n+1}=\det (a_{ij}),$ 其中主对角元均为 $a$⁠，上邻对角元均为 $-1$⁠，且当 $i>j$ 时 $a_{ij}=a{x}^{i-j}.$

设 $f(x)=x^2-x-2,g(x)=x^3+x^2-x-1.$ 求 $u(x),v(x)$⁠，使 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)).$

设 $p(x)$ 为 $\mathbb{R}[x]$ 中任一实系数多项式。证明存在唯一的实系数多项式 $g(x)$⁠，使 $((x^2+3x-5)g(x){)}^{\prime \prime }=p(x).$

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若 $n$ 是正整数，$f(x)=x^{n+1}+2x+6$⁠。 1. 证明 $f$ 在有理数域上不可约； 2. 写出数域 $F$ 上所有满足 $\frac{g(x)}{(g(x),g^{\prime }(x))}=f(x)$ 的多项式 $g(x)$⁠； 3. 若 $x_1,\dots ,x_{n+1}$ 是 $f$ 的全部复根，求...

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设 $f_i(x)\in P[x](i=1,\dots ,n)$⁠。求证 ${\sum }_{i=0}^n{x}^i\mid {\sum }_{k=1}^n{x}^{n-k}{f}_k(x^{n+1})$ 的充要条件为 $x-1\mid f_i(x),i=1,\dots ,n.$

已知 $f(x)=x^4+2x^3-4x^2-7x-2,g(x)=x^3-2x-4.$ 1. 求首一最大公因式 $(f,g)$⁠； 2. 求 $u,v$⁠，使 $uf+vg=(f,g)$⁠，且 $\mathrm{deg}u<\mathrm{deg}f$⁠、$\mathrm{deg}v<\mathrm{deg}g$⁠。

设 $p$ 是素数，$a$ 是整数，且 $p^2\mid (a+1)$⁠。证明多项式 $f(x)=a{x}^p+px+1$ 没有有理根。

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设 $a_1,\dots ,a_n$ 是互不相同的数， $F(x)={\prod }_{i=1}^n(x-a_i),L(x)={\sum }_{i=1}^n\frac{b_{i}F(x)}{(x-a_i)F^{\prime }(a_i)}.$ 1. 证明 $L(a_i)=b_i$⁠； 2. 证明 $L(x)$ 是满足这些插值条件的次数最低的多项式。

设 $f(x),g(x),h(x)$ 都是数域 $P$ 上的首一多项式。证明 $(f^2,g^3{h}^4)=1$ 当且仅当 $(f,g)=(f,h)=1.$