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设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\sigma \in {\mathrm{End}}_F(V)$⁠，$f(x)$ 是 $\sigma$ 的最小多项式。 (1)证明：$\sigma$ 可对角化的充要条件是 $f(x)$ 可分解为互异一次因式的乘积。 (2)若 $A^5=I$⁠，...

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设四阶实正交矩阵 $A$ 无实特征值。证明存在正交矩阵 $Q$⁠，使 $Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_1& \sin {\theta }_1& 0& 0\\ -\sin {\theta }_1& \cos {\theta }_1& 0& 0\\ 0& 0& \cos {\theta }_2& -\sin {\theta }_2\\ 0& 0& \sin {\theta }_2& \cos {\theta }_2\end{array}\right),$ ...

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已知五阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 32& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$ 计算 $f(x)=|xI-A|,$ 并求 $\mathrm{Tr}((xI-A{)}^{\ast })-f^{\prime }(x),$ 其中...

设 $\mathcal{A}$ 是 ${\mathrm{End}}_F(V)$ 上的线性变换，且多项式 $f(x)$ 无重根。求 $\mathrm{Im}f(\mathcal{A})+\mathrm{Im}{f}^{\prime }(\mathcal{A}).$

设 $A$ 为四阶实对称矩阵，已知三个特征值 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=3,{\lambda }_3=4,$ 且 $|A|=-12$⁠。$V_1,V_2,V_3$ 分别为这三个特征值的特征子空间。求...

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，且 $r(A)=r<n$⁠。若 $AX=b$ 有解，求其解集中线性无关向量的最大个数。

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),B=\frac{\sqrt{3}}{2}A.$ 求块对角矩阵 ${\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)}^8.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续，且 $f(0)f(1)\ge 0$⁠。证明 ${\int }_0^1|f^{\prime }(x)|dx\le 2{\int }_0^1|f(x)|dx+{\int }_0^1|f^{\prime \prime }(x)|dx.$

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设 $\alpha \in (0,1)$⁠，正项数列 $\{a_n\}$ 满足 ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{n}^{\alpha }\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda \in (0,+\infty ).$ 证明：对任意 $k>0$⁠，有...

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证明反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{1+x^5{\sin }^{2}x}dx$ 收敛。

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证明函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上非一致收敛。

已知数列 $x_n=\sin 1+\frac{\sin 2}{2!}+\frac{\sin 3}{3!}+\cdots +\frac{\sin n}{n!}.$ 证明：(1)$\{x_n\}$ 有界但不单调；(2)$\{x_n\}$ 收敛。