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二次型 $g(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2a{x}_1{x}_2+2(a+1)x_1{x}_3+2x_2^2+x_3^2$ 为正定二次型，求 $a$ 的范围。

(1)证明 $x^3-2$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的不可约多项式； (2)求有理数 $a,b,c$⁠，使 $\sqrt[3]{4}a+\sqrt[3]{2}b+c=\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+2}.$

求子空间 $\{(x_1,x_2,x_3):x_1+x_2+x_3=0\}$ 的维数。

求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准形。

设 $(f(\lambda ),g(\lambda ))=1,$ 且 $f,g$ 均为首一多项式。求多项式矩阵 $\left(\begin{array}{cc}g(\lambda )& 0\\ 0& f(\lambda )\end{array}\right)$ 的 Smith 标准形。

若 $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 3\end{array}\right),$ 求 $A^{2023}$⁠。

已知上三角矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& & \\ 0& 4& \ast \\ 0& 0& 6\end{array}\right),$ 求 $\mathrm{tr}(A^2)$⁠。

若 $A,B$ 均为三阶矩阵，且 $AB=O,r(A)=1,$ 求 $B$ 的秩的最大值。

设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|b_{n+1}-b_n|$ 绝对收敛。 (1)叙述 Abel 变换并求 ${\sum }_{n=1}^N{a}_n{b}_n$ 的部分和； (2)证明数列 $\{b_n\}$ 收敛； (3)证明...

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证明：函数 $f$ 在有界区间 $I$ 上一致连续的充要条件是：对 $I$ 中任意 Cauchy 数列 $\{a_n\}$⁠，数列 $\{f(a_n)\}$ 也是 Cauchy 数列。

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讨论含参反常积分 $f(x)={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-xy}dy$ 在 $(0,+\infty )$ 上的一致收敛性。

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $g(x)=f(x){\int }_0^{x}f(t)dt$ 单调递减。证明 $f(x)\equiv 0$⁠。