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设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)<f(b)$⁠。证明存在闭区间 $[c,d]\subseteq [a,b]$⁠，使 $f$ 在 $[c,d]$ 上的最小值为 $f(a)$⁠，最大值为 $f(b)$⁠。

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，$f(0)=0,f(1)=1$⁠。若 $n$ 为正整数，且 ${\xi }_k\in \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right],k=1,2,\dots ,n,$ 证明...

求函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n(n+1){\left(\frac{x-1}{x}\right)}^n$ 的收敛域及和函数。

计算曲线积分 ${\oint }_L(x^{3}y+e^y)dx+(x{y}^3+5x^3{y}^2+x{e}^y)dy,$ 其中 $L$ 为椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 的逆时针方向。

判断广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x\ln x}{x^3+1}dx$ 的敛散性。

设 $z=z(x,y)$ 由方程 $2x^{3}z-3x^2{y}^2-2xy{z}^2-4y^{3}z+4=0$ 隐式确定。求在 $(x,y,z)=(2,1,2)$ 处的全微分 $dz$⁠。

求极限 ${\lim }_{x\to 0}\left(\frac{e^x}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right).$

已知 $A,B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，$A$ 正定，并且 $AB$ 的所有特征值都等于 $1$⁠。证明存在次数小于 $n$ 的多项式 $f(x)$⁠，使 $B=f(A).$

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设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$I$ 为恒等变换，$\mathcal{A},\mathcal{B}$ 为 $V$ 上的线性变换。令...

设 $f(x),g(x)$ 为多项式，$A$ 为 $n$ 阶矩阵。证明 $r\left(\begin{array}{c}f(A)\\ g(A)\end{array}\right)=r(f(A),g(A)).$

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设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是欧氏空间 $V$ 的一组基，${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ 和 ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n$ 是 $V$ 中的两个正交向量组。已知对每个 $i=1,\dots ,n$⁠，向量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_i$...

设非零实矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$⁠，$A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，并且 $a_{ij}+A_{ij}=0,i,j=1,2,\dots ,n.$ 证明 $A$ 可逆。