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求级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n(2n-1)}$ 的和。

计算第一类曲面积分 ${\iint }_S(x^2+y^2)dS,$ 其中 $S$ 是立体 $\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 1$ 的边界。

计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{\ln (1+n)-\ln n}-n\right).$

设 $V={\mathbb{C}}^{n\times n}$⁠，$A\in V$⁠。定义线性变换 $\mathcal{L}(X)=AX-X{A}^T.$ 若 $A$ 有 $n$ 个互不相等的特征值，证明 $V={\mathcal{L}}^{-1}(0)\oplus \mathcal{L}(V).$

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设 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$⁠，其中 $A$ 正定，$B$ 半正定。证明 $|A+B|\ge |A|.$

设 $\tilde{A},\tilde{B}\in {\mathbb{R}}^{m\times (n+1)}$ 分别是两个线性方程组的增广矩阵。若两个方程组都有解且解集相同，证明 $\tilde{A},\tilde{B}$ 的行向量组等价。

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求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 0& 2& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准形。

设 $V=\mathbb{R}[x{]}_4$ 为次数小于 $4$ 的实系数多项式空间，定义 $\mathcal{A}(f(x))=(1-x^2)f^{\prime \prime }(x)-2x{f}^{\prime }(x).$ 求 $V$ 的一组基，使 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

已知四阶方阵 $A$ 的伴随矩阵为 $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& -1& 1& 0\\ 0& -1& 0& 1\\ 0& 0& -1& -1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$ 求 $A^3$⁠。

计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1+x& x& 0& 0\\ x& x+x^2& x^2& 0\\ 0& x^2& x^2+x^3& x^3\\ 0& 0& x^3& x^3+x^4\end{array}\right|.$

设 $f(x)=x^5-x^3-x-1,g(x)=x^4+2x^2+5x+2.$ 求首一最大公因式 $(f(x),g(x))$⁠。

设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 是收敛的正项级数，令 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n|\sin nx|.$ 已知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上满足 Lipschitz 条件：存在 $L>0$⁠，使 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|.$ 证明级数...

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