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若 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)=0$⁠，证明存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $|f^{\prime \prime }(\xi )|\ge 4|f(1)-f(0)|.$

证明当 $n\ge 2$ 时 $\frac{1}{2(n+1)}\le a_n\le \frac{1}{2(n-1)}.$

令 $a_n={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n}xdx,n\ge 1.$ 证明数列 $\{a_n\}$ 收敛。

在上一问条件下，判断 $A$ 是否可以对角化，并说明理由。

在上一问条件下，求 $A$ 的所有特征值及特征向量。

对于 $n$ 阶实矩阵 $A$ 及向量 $X_1,\dots ,X_n$⁠，$X_n\ne 0$⁠，满足 $A{X}_1=X_2,A{X}_2=X_3,\dots ,A{X}_{n-1}=X_n,A{X}_n=0.$ 证明 $X_1,\dots ,X_n$ 线性无关。

已知三阶实对称矩阵 $A$ 的所有特征值之和为 $1$⁠，乘积为 $-12$⁠，且 $(1,0,-2{)}^T$ 是 $(A^{\ast }-4I)X=0$ 的解。对二次型...

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已知 $X,Y$ 为三维列向量，$A=(a_{ij})$ 为三阶实对称矩阵。对任意实数 $a$⁠，证明 $\det \left(\begin{array}{cc}a& X^T\\ Y& A\end{array}\right)=a|A|-X^T{A}^{\ast }Y.$

设 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathcal{A}$ 有 $n$ 个不同特征值。证明：$\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$ 的充要条件是存在多项式 $f(x)$⁠，使...

设 $\mathcal{A}$ 为有限维线性空间 $V$ 上的可逆线性变换，$W$ 为 $V$ 的子空间。证明：若 $W$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，则 $W$ 也是 ${\mathcal{A}}^{-1}$ 的不变子空间。

设 $f(x),g(x)$ 为数域 $P$ 上的多项式，且 $(f,g)=1$⁠。设 $V,V_1,V_2$ 分别为 $f(A)g(A)X=0,f(A)X=0,g(A)X=0$ 的解空间。证明 $V=V_1\oplus V_2$⁠。

已知实矩阵 $A$ 满足 $A^2=A$⁠。证明存在实对称矩阵 $B$ 及正定矩阵 $C$⁠，使 $A=BC$⁠。