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设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换。证明 $\mathrm{Im}{\mathcal{A}}^2=\mathrm{Im}\mathcal{A}$ 当且仅当 $\ker {\mathcal{A}}^2=\ker \mathcal{A}.$

设 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 为整系数多项式，且 $(a+b)c$ 为奇数。证明 $f(x)$ 在有理数域上不可约。

设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 为矩阵 $A_{n\times n}$ 的列向量，$\beta ={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n$⁠，且 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{n-1}$ 线性相关。证明线性方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解。

设 $f(x),g(x)$ 不全为零。证明：对任意正整数 $n$⁠， $(f^n(x),g^n(x))=(f(x),g(x){)}^n.$

设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda )=(\lambda -2{)}^3(\lambda -3{)}^2.$ 若不计 Jordan 块的排列顺序，求 $A$ 的所有可能 Jordan 标准形。

设 $V$ 是三维欧氏空间，基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的度量矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 2& 0\\ 1& 0& 4\end{array}\right).$ 求一组用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示的标准正交基。

已知 ${\alpha }_1=(1,2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(-1,1,1,1{)}^T,{\alpha }_3=(0,3,2,1{)}^T,$ $V_1=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$⁠，以及...

设 $a_n\ne 0$⁠，且 ${\lim }_{n\to \infty }n\left(1-\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)=p>1.$ 证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛。

证明 $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (2^{n}x)}{n!}$ 在 $\mathbb{R}$ 上有任意阶导数，但不能在 $\mathbb{R}$ 上展开为幂级数。

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若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续可微，证明 ${\max }_{x\in [a,b]}f(x)\le \frac{1}{b-a}\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|+{\int }_a^b|f^{\prime }(x)|dx.$

设 $f$ 在 $[0,2]$ 上存在三阶连续导数，且 $f(0)=f(1)=f(2)=0$⁠。证明：对任意 $x\in (0,2)$⁠，存在 $\xi \in (0,2)$⁠，使 $f(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)f^{(3)}(\xi ).$

证明 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{1+x^6{\sin }^{2}x}dx$ 收敛。

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