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设 $V_1,V_2,\dots ,V_m$ 是有理数域上向量空间 $V$ 的 $m$ 个真子空间。证明：$V$ 中必存在向量 $\alpha$⁠，使得 $\alpha$ 不属于任何一个 $V_i$⁠。

设 $f(x)=x^m-1,g(x)=x^n-1,$ 其中 $m,n$ 为正整数。证明 $(f(x),g(x))=x^d-1,$ 其中 $d=(m,n)$⁠。

设 $A$ 为一个四阶实对称矩阵，特征值为 $0,0,0,4$⁠。属于特征值 $0$ 的三个线性无关特征向量为 $(-1,1,0,0{)}^T,(-1,0,1,0{)}^T,(-1,0,0,1{)}^T.$ 求矩阵 $A$⁠。

求行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1+x_1& 1+x_1^2& \cdots & 1+x_1^n\\ 1+x_2& 1+x_2^2& \cdots & 1+x_2^n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|.$

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设 $\{f_n\}$ 是 $[a,b]$ 上连续的函数列，且 $f_n(x)\le f_{n+1}(x).$ 若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上收敛于连续函数 $f$⁠，证明 $f_n$ 必一致收敛于 $f$⁠。

对上一问的 $f(t)$⁠，证明 ${\lim }_{t\to +\infty }f(t)=0.$

对上一问的 $f(t)$⁠，证明 $f\in C(\mathbb{R}).$

令 $f(t)={\int }_1^{+\infty }\frac{\cos xt}{1+x^2}dx.$ 证明该积分在 $t\in \mathbb{R}$ 上一致收敛。

设 $\{a_n\}$ 是正的单调递增数列。证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$ 当 $\{a_n\}$ 有界时收敛，当 $\{a_n\}$ 无界时发散。

设 $D$ 为平面区域，$u\in C^2(D)$⁠。证明：$u$ 为调和函数的充要条件是，对 $D$ 内任一圆周 $L$⁠，且 $L$ 所围圆盘属于 $D$⁠，都有 ${\int }_L\frac{\partial u}{\partial n}ds=0,$ 其中 $n$ 为外法向量。

设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有任意阶导数，并且对任意实数 $x$ 及 $n=0,1,2,\dots$⁠，满足 $|f^{(n)}(x)|\le n!|x|.$ 证明 $f(x)=0$ 对所有实数 $x$ 成立。

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计算曲面积分 $I={\iint }_S(z^2+x)dydz+\sqrt{z}dxdy,$ 其中 $S$ 是抛物面 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 在 $z=0$ 和 $z=\pi$ 之间的部分，定向取下侧。