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设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$ 为四阶矩阵，A^ 为 $A$ 的伴随矩阵。若单个非零向量 $\beta$ 是方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，问 $A^X=0$ 的基础解系含有几个解向量。

设 $n$ 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1& a& a& \cdots & a\\ a& 1& a& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a& a& a& \cdots & 1\end{array}\right),n\ge 3.$ 若 $r(A)=n-1$⁠，求 $a$⁠。

计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 1& x-1\\ 1& -1& x+1& -1\\ 1& x-1& 1& -1\\ x+1& -1& 1& -1\end{array}\right|.$

已知 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2},$ 求 $F(x)={\int }_0^{+\infty }\frac{{\sin }^2(xt)}{t^2}dt,x>0.$

证明 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin ux}{x}dx$ 在任何不包含 $u=0$ 的闭区间 $[a,b]$ 上关于 $u$ 一致收敛。

设 $f$ 在实轴上可导，且存在 $a,b,c,d$⁠，$a<c$⁠，使 ${\lim }_{x\to -\infty }[f(x)-(ax+b)]=0,{\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-(cx+d)]=0.$ 证明：任意 $\lambda \in (a,c)$⁠，存在 $\xi \in \mathbb{R}$ 使...

用上一问证明 $g(x)=\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上一致连续。

设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续，$g\in C[a,+\infty )$⁠，且 ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-g(x)]=0.$ 证明 $g$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续。

已知 ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-(ax+b)]=0,$ 求 $a,b$⁠。

证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}$ 在整个实轴上逐点收敛，但不一致收敛。

对上题函数证明：当 $\alpha >3/2$ 时，$f$ 在 $(0,0)$ 可微。

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{|x{|}^{\alpha }|y{|}^{\alpha }}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 证明：当 $\alpha >1$ 时，$f$ 在 $(0,0)$ 连续。