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设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关，令 ${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3,\dots ,{\beta }_n={\alpha }_n+{\alpha }_1.$ 证明：当 $n$ 为奇数时 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ 线性无关；当 $n$...

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设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $s\times n$ 矩阵。证明矩阵方程 $XA=B$ 有解的充要条件是 $r(A^T\mid B^T)=r(A^T).$

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证明：$n$ 阶矩阵 $A$ 与任意 $n$ 阶可逆矩阵 $B$ 可交换的充要条件是 $A=k{I}_n$⁠。

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记 $s_1={\sum }_i{x}_i,s_2={\sum }_{i<j}{x}_i{x}_j,s_3={\sum }_{i<j<k}{x}_i{x}_j{x}_k,s_4=x_1{x}_2{x}_3{x}_4.$ 1. 证明 $s_i$ 为对称多项式； 2. 设 $f(y_1,y_2,y_3,y_4)=2y_1^2-3y_3{y}_4$⁠，计算...

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记 $H$ 为 Hessian 矩阵。 1. 在点 $(a,b)$ 处，已知 $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$⁠，且 $H(a,b)$ 正定。证明 $(a,b)$ 是 $f$ 的严格极小值点。 2. 若 $H$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上处处正定，证明 $f$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上至多有一个极值点。

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设 $N:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ 满足范数公理，欧氏范数记为 $\Vert x\Vert$⁠。 1. 证明 $N$ 在单位球面 $B=\{x:\Vert x\Vert =1\}$ 上有界； 2. 证明 $N$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 上连续； 3. 证明存在 $a,b\in \mathbb{R}$⁠，使对任意 $x$⁠，若 $r=\Vert x\Vert$⁠，则...

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设 $f$ 是 $[0,+\infty )$ 上的可导函数，且 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=A,$ 其中 $A$ 为有限数或 $+\infty$⁠。证明：$f$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续的充要条件是 $A$ 为有限数。

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设 $a_n,b_n\to 0$⁠，且 $b_1>b_2>\cdots$⁠。若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A,$ 证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=A.$

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设 $x,y>0$⁠。证明 $\frac{1}{4}(x^2+y^2)\le e^{x+2y-2}.$

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已知 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=0,f(1)=3,{\min }_{x\in [0,1]}f(x)=-1.$ 证明存在 $c\in (0,1)$⁠，使 $f^{\prime \prime }(c)\ge 18$⁠。

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设 $f$ 定义在 $[a,b]$ 上，且每一点处极限都存在。证明 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

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设 $f$ 在 $[0,\pi ]$ 上连续可微，且 ${\int }_0^{\pi }f(x)dx=0.$ 证明 ${\int }_0^{\pi }{f}^2(x)dx\le {\int }_0^{\pi }[f^{\prime }(x){]}^{2}dx.$

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