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设 $\{x_n\}$ 是方程 $x\cot x=\frac{\pi }{2}\cot x-10$ 在 $(\pi /2,+\infty )$ 上的解序列。证明 ${\lim }_{n\to \infty }\left[x_n-\left(n-\frac{1}{2}\right)\pi \right]=0.$

求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}\left(\cos \frac{\pi }{n}+\cos \frac{2\pi }{n}+\cdots +\cos \frac{(n-1)\pi }{n}\right).$

求 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1{x}^n\sqrt[4]{4(3+x)}dx.$

求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\int }_{x^2}^x(\tan t{)}^{3}dt}{\ln (1+x^2)(e^{2x}-1)}.$

求 ${\lim }_{n\to \infty }{n}^2\left[\sin \left(\cos \frac{1}{n}\right)-\sin 1\right].$

求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\sum }_{k=1}^n(k+\cos k{)}^3}{n^4}.$

设 $0<k<1$⁠，且 $a_n\to a$⁠。证明 ${\lim }_{n\to \infty }\left(a_n+k{a}_{n-1}+\cdots +k^{n-1}{a}_1+k^n{a}_0\right)=\frac{a}{1-k}.$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{5^{1/n}}{n+1}+\frac{5^{2/n}}{n+1/2}+\cdots +\frac{5^{n/n}}{n+1/n}\right).$

设 $g\in C[a,b]$⁠，函数 $f$ 在 $g([a,b])$ 上有定义。证明：若 $f\circ g\in C[a,b]$⁠，则 $f$ 在 $g([a,b])$ 上连续。

求 $$\begin{gathered} {\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{{\int }_{ \\ cosx}^1{e}^{-t^2}dt}. \end{gathered}$$

求 ${\lim }_{x\to 0}(\cos x{)}^{x^{-2}}.$

求 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right).$