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设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$\lambda$ 为其特征值。假设存在正数 $M$⁠，使对任意正整数 $p$⁠，$A^p$ 的所有元素模长都小于 $M$⁠。证明： 1. $|\lambda |\le 1$⁠； 2. 当 $\lambda =1$ 时，其几何重数等于代数重数。

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵且 $A^2=A$⁠。证明 $r(A)+r(A-I)=n.$

设 $A,B$ 是 $n$ 阶复方阵。证明：$A,B$ 有公共特征值，当且仅当存在非零复方阵 $X$⁠，使 $AX=XB.$

证明：对 $A\in M_n(K)$⁠， $\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}(A-I)=n$ 的充要条件是 $A^2=A$⁠。

设 $A\in M_n(\mathbb{R})$ 且 $\det A\ne 0$⁠。证明存在唯一的 $Q,T$⁠，使 $A=QT,$ 其中 $Q$ 为正交矩阵，$T$ 为上三角矩阵且对角元全为正。

设 $A,B$ 是同阶复方阵且有公共特征值。证明矩阵方程 $AX=XB$ 有非零解。

设 $r(M)$ 表示矩阵 $M$ 的秩。 1. 对数域 $F$ 上 $n>1$ 阶方阵 $M$⁠，求 $r(M^{)}$⁠，其中 M^ 为伴随矩阵； 2. 对 $m\times n$ 实矩阵 $A$⁠，证明 $r(I_n-A^{T}A)-r(I_m-A{A}^T)=n-m;$ 3. 若...

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设数域 $P$ 上 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$m\ge n$⁠。证明以下命题等价： 1. $r(A)=n$⁠； 2. 存在可逆 $P_{m\times m}$⁠，使 $PA=\left(\begin{array}{c}{I}_n\\ 0\end{array}\right);$ 3. 存在 $B_{n\times m}$⁠，使...

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$⁠，$F$ 为全1矩阵，$A_{ij}$ 表示 $a_{ij}$ 的代数余子式。 1. 证明 $|A+xF|=|A|+x{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{A}_{ij};$ 2. 证明...

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 12& 2022\\ 0& 0& 25\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$ 证明矩阵方程 $X^2=A$ 在 $M_3(\mathbb{C})$ 中无解。

设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠，$0<\mathrm{rank}A<n$⁠，且 $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A}^2.$ 证明存在可逆矩阵 $P$ 及可逆矩阵 $B$⁠，使...

设 $A\in M_n(\mathbb{R})$ 的特征值为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$⁠。求分块矩阵 $B=\left(\begin{array}{cc}A& 4I_n\\ I_n& A\end{array}\right)$ 的特征值。