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设 $A$ 为实对称矩阵，$d>0$⁠，且方程组 $AX=\alpha$ 无解。证明分块对称矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& d\end{array}\right)$ 是不定矩阵。

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称正定矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵。证明 $\det (A+B)>0.$

设 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 均为正定矩阵。 1. 当 $n=2$ 时，举例使 $AB$ 不是正定矩阵； 2. 求 $AB$ 为正定矩阵的充要条件并证明。

给定 $0$-$1$ 矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$⁠。若 $A$ 的全部特征值均大于0，证明 $\det A=1.$

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，满足 $A^2=A,B^2=B,M=AB.$ 证明 $\mathrm{rank}(I-M)\le 2(n-\mathrm{rank}M).$

设 $A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$ 为实对称矩阵，$\mathrm{tr}A=0$⁠。向量 ${\alpha }_1=(1,1,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,1,-1{)}^T$ 均是属于特征值1的特征向量。求 $A$⁠。

设 $A$ 为 $s\times n$ 矩阵且 $r(A)=n$⁠，$B$ 为 $l\times m$ 矩阵且 $r(B)=m$⁠。求 $r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right).$

求矩阵方程 $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 6& 8\end{array}\right)X^T=\left(\begin{array}{cc}2& 9\\ 4& 18\end{array}\right)$ 的解。

设实二次型 $f(x_1,\dots ,x_n)=(x_1+a_1{x}_2{)}^2+(x_2+a_2{x}_3{)}^2+\cdots +(x_{n-1}+a_{n-1}{x}_n{)}^2+(x_n+a_n{x}_1{)}^2.$ 求它正定的充要条件。

题面所示矩阵沿主对角线由若干个二阶块 $C=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -2& 3\end{array}\right)$ 组成，其余分块为零。证明该矩阵可逆。

1. 若同阶矩阵 $A,B$ 满足 $A-B+AB=0,$ 证明 $AB=BA$⁠； 2. 判断是否存在二阶实矩阵 $A$ 满足 $A^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -2\end{array}\right).$

设 $B$ 为 $n$ 阶矩阵，主对角元均为2，非对角元均为1。求 $B^{-1}$⁠。