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利用上一问证明：若 $r(A)=n$⁠，则 $r(AB)=r(B)$⁠；若 $r(A)=m$⁠，则 $r(CA)=r(C)$⁠。

设 $A,B,C$ 分别为 $m\times n,n\times t,s\times m$ 矩阵。若 $r(A)=r$⁠，证明存在可逆矩阵 $P,Q$⁠，使 $PA$ 的后 $m-r$ 行全为零，$AQ$ 的后 $n-r$ 列全为零。

讨论齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2+\cdots +b{x}_n=0,\\ b{x}_1+a{x}_2+\cdots +b{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ b{x}_1+b{x}_2+\cdots +a{x}_n=0,\end{array}$ 其中...

设二元连续可微函数 $F$ 在直角坐标下可写为 $F(x,y)=g(y)f(x),$ 在极坐标下可写为 $F(r\cos \theta ,r\sin \theta )=h(r).$ 若 $F(x,y)$ 无零点，求 $F(x,y)$⁠。

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若 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 ${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx,$ 并计算 ${\int }_0^{\pi }\frac{x{\sin }^{2n}x}{{\sin }^{2n}x+{\cos }^{2n}x}dx.$

证明数列 $a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n$ 的极限存在。

证明：对 $x>0$⁠， $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x.$

计算含参积分 $I(a)={\int }_0^{+\infty }\frac{\arctan (ax)}{x(1+x^2)}dx,a>0.$

当 $x\to +\infty$ 时，比较无穷大量 $(\ln x{)}^{100}\text{与}{e}^{(\ln x{)}^{1/100}}.$

当 $x\to +\infty$ 时，比较无穷大量 $x$ 与 $(\ln x{)}^{100}$⁠。

计算第一类曲面积分 ${\iint }_{\Sigma }(x+y+z)dS,$ 其中 $\Sigma$ 是半球面 $x^2+y^2+z^2=1,y\le 0.$

讨论函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x+(-1{)}^{n}n}{x^2+n^2}$ 的条件收敛域、绝对收敛域和一致收敛域。

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