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设 $I(\lambda )={\int }_0^1\cos (\lambda x^2)dx.$ 证明：存在与 $\lambda$ 无关的正常数 $C$⁠，使得 $|I(\lambda )|\le \frac{C}{\sqrt{\lambda }},\forall \lambda \ge 1.$

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设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n},$ 其中 $a_1,a_2>0$⁠。证明： ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ 存在，并求极限 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n.$

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设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，且满足 $f(0)=f(1)=0,{\min }_{x\in [0,1]}f(x)=-1.$ 证明：存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使得 $f^{\prime \prime }(\xi )\ge 8.$

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若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有第一类间断点，证明：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

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设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x(1-x^2),& x\in \mathbb{Q},\\ x(1+x^2),& x\notin \mathbb{Q}.\end{array}$ 讨论 $f(x)$ 的连续性与可导性。

计算题。 (1) 求极限 ${\lim }_{n\to +\infty }\left(\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n}\right).$ (2) 设 $I_n={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2}nx}{\sin x}dx,$ 求极限...

设 $A,B$ 均是 $n$ 阶实对称矩阵，满足 $AB+A^3=BA+B^3,$ 证明： $A=B.$

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设 $V$ 是 $n\ge 2$ 维欧几里得空间， $v_1,v_2,\dots ,v_n\in V,$ 令 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n},a_{ij}=(v_i,v_j),$ 其中 $(v_i,v_j)$ 是 $v_i$ 与 $v_j$ 的内积。 (1) 证明：$A$ 是半正定矩阵。...

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设 $A,B$ 是 $n$ 阶复方阵，且 $A$ 可逆。已知存在正整数 $t$⁠，使得对 $k\in \{t+1,t+2,\dots ,t+n\},$ $B$ 与 $A^k$ 均可交换。证明：$B$ 与 $A$ 可交换。

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设 $V$ 是区间 $[-1,1]$ 上所有实值连续函数构成的线性空间，定义 $(f,g):={\int }_{-1}^{1}f(t)g(t)dt,\forall f(t),g(t)\in V.$ 设 $W\subset V$ 是由 $\{1,t,t^2\}$ 张成的线性子空间。 (1) 利用 Gram-Schmidt...

考虑关于 $(x,y,z)$ 的线性方程组 $\{\begin{array}{l}x+2y+3z=0,\\ 2x+3y+az=3,\\ 3x+4y+5z=b.\end{array}$ 其中 $(a,b)$ 为参数。试讨论 $(a,b)$ 为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解；并在有解(唯一解或无穷多解)时，求出它的所有解。

设 $V$ 是 $2025$ 维实线性空间， $F:V\times V\to \mathbb{R}$ 是一个非退化双线性型。已知在 $V$ 的一个线性子空间 $W$ 上，$F$ 限制在 $W\times W$ 恒为零。考虑所有可能的 $F$ 和 $W$⁠，$\dim W$ 的最大可能值是 ______。 二、解答题。每题...