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设 $f_n(x)$ 为紧集 $K$ 上的连续函数列，且对任意 $x\in K$⁠，都有 $f_n(x)$ 关于 $n$ 单调递减收敛到 $0$⁠。证明：$f_n(x)$ 在 $K$ 上一致收敛到 $0$⁠。

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判断级数 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{\cos nx}{\ln n}$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的敛散性，并证明它不是某个可积函数的傅里叶级数。

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设 $f\in R[0,1]$⁠，且在 $x=0$ 处连续，证明： ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}f(x^n)dx=f(0).$

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若 $D\subset \mathbb{R}$ 是闭集且 $D$ 不是空集，定义 $d(x)={\inf }_{t\in D}|x-t|,$ 证明：$d$ 是连续函数。

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在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，曲面 $\Sigma :\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}(e^u+e^{-u})\cos v,\\ y=\frac{1}{2}(e^u+e^{-u})\sin v,\\ z=\frac{1}{2}(e^u-e^{-u})\end{array}$ 求 $\Sigma$ 在参数点...

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设 $f(x)\in C[0,+\infty )$⁠，且满足 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A.$ 求 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}f(nx)dx.$

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若 $f(t)={\iint }_{0\le x\le t,0\le y\le t}{e}^{-tx/y^2}dxdy,$ 求 $f^{\prime }(t)$⁠。

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求广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\cos x-\cos 2x}{x^2}dx.$

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求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}{x}^n$ 的收敛半径。

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已知 $u=\ln (x+y),$ 求 $du{|}_{(1,2)}.$

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求不定积分 $\int \sqrt{x}{e}^{\sqrt{x}}dx.$

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求极限 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}{\int }_{1/x}^1\frac{\cos 2t}{t^2}dt.$