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对每个正整数 $n$⁠，$f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调。若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上逐点收敛于连续函数 $f$⁠，证明 $f_n\to f$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。

证明级数 $\eta (s)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s}$ 在 $(0,+\infty )$ 上可微且 ${\eta }^{\prime }(s)$ 连续。

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计算 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\cos (\alpha x)dx.$

证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{(1+a)(1+a^2)\cdots (1+a^n)},a>0,$ 收敛。

已知 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi }}{2},f(x)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-y^2}\cos (xy)dy.$ 1. 证明 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续； 2. 证明 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有连续导函数； 3....

求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^n}{n}$ 的收敛半径、收敛域以及和函数，并求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}.$

讨论级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{\left(e-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right)}^p$ 的敛散性。

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)>0$⁠。证明函数列 $\left\{\sqrt[n]{f(x)}\right\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $1$⁠。

已知 $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^n+x}.$ 证明： 1. $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上可导，且一致连续； 2. 反常积分 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

若 $\{a_n\}$ 单调递减趋于零，证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\text{与}{\sum }_{k=0}^{\infty }{2}^k{a}_{2^k}$ 同敛散。

设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的连续函数，且当 $x\ne 0$ 时 $|f(x)|<|x|$⁠。定义 $f_1(x)=f(x),f_{n+1}(x)=f(f_n(x)).$ 证明 $\{f_n(x)\}$ 在任意有限区间 $[-a,a]$ 上一致收敛于 $0$⁠。

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判别下列级数的敛散性： 1. $\sum _{n=1}^{\infty }2022^n\sin \frac{\pi }{2023^n}$⁠； 2. $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{2^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n^2}$⁠。