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讨论级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+(-1{)}^{n-1}{)}^p},p>0,$ 的敛散性；收敛时说明是绝对收敛还是条件收敛。

设 $f\in C^1[0,1]$⁠。若满足下列条件之一： $f(0)=0,\text{或}{\int }_0^{1}f(x)dx=0,$ 证明 ${\int }_0^1{f}^2(x)dx\le {\int }_0^1[f^{\prime }(x){]}^{2}dx.$

设数列 $\{a_n\}$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=a.$ 回答： 1. 是否一定有 $a_n\to a$⁠？ 2. 若再满足下列条件之一，是否有 $a_n\to a$⁠： - ${\lim }_{n\to \infty }n(a_n-a_{n-1})=0$⁠； -...

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设 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，其 Fourier 系数为 $a_n,b_n$⁠。求函数 $F(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)f(x+t)dt$ 的 Fourier 系数。

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求曲面 $z=e^{x^2-y^2}+x^2$ 与 $z=e^{x^2-y^2}-y^2+1$ 围成的立体体积。

设 $A_1,\dots ,A_k$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，记 $f(x_1,\dots ,x_k)=\det (x_1{A}_1+\cdots +x_k{A}_k).$ 若复数 $x_1,\dots ,x_k$ 的虚部均大于零，并且对某组这样的参数有 $f(x_1,\dots ,x_k)=0,$ 证明多项式 $f$ 恒为零。

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设线性映射 $\mathcal{A}:M_{m\times n}(\mathbb{K})\to M_{p\times q}(\mathbb{K}),\mathcal{A}(X)=AXB,$ 其中 $A$ 为 $p\times m$ 矩阵，$B$ 为 $n\times q$ 矩阵。求 $\mathcal{A}$...

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设 $V_1,V_2$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的两个 $m$ 维子空间，$m<n$⁠。求满足 $V=V_1\oplus U=V_2\oplus U$ 的公共补空间 $U$ 的最大维数，并构造 $U$⁠。

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解答： 1. 设方阵 $A$ 的特征多项式为 $f(x)=x^m(x-2{)}^n,$ 求 $\det \left(\begin{array}{cc}A& I\\ I& A\end{array}\right);$ 2. 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& b& a& c\\ 0& 2& c& a\\ 0& 0& 1& b\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right)$ ...

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讨论函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^a{e}^{-\sqrt{nx}}$ 关于 $x$ 在 $[0,+\infty )$ 上的连续性。

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若 $f\in C^2(0,1)$⁠，$f(0)=f(1)=0$⁠，且 $f(x)\ne 0$ 于 $(0,1)$⁠，证明 ${\int }_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f(x)}\right|dx\ge 4.$

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计算曲线积分 ${\int }_{C}x\ln (x^2+y^2-1)dx+y\ln (x^2+y^2-1)dy,$ 其中 $C$ 是被积函数定义域内从 $(2,0)$ 到 $(0,2)$ 的分段光滑曲线。