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求幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1{)}^2{x}^n$ 的和函数。

求 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{(1+x{)}^2(1+x^{2024})}.$

求不定积分 $\int |x|dx.$

设 $f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2},$ 求 $f^{(n)}(0)$⁠。

求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\int }_0^{x}t\sin tdt}{\sin x-\tan x}.$

证明 $V=\ker \mathcal{A}\oplus \mathcal{A}V.$

令 $V={\mathbb{R}}_n[x]$⁠，定义线性变换 $\mathcal{A}f(x)=x{f}^{\prime }(x)-f(x).$ 求 $\ker \mathcal{A}$ 与 $\mathcal{A}V$⁠。

若 $W_1\subseteq W\subseteq V$⁠，且 $V=W_1\oplus W_2,$ 证明 $\dim W=\dim W_1+\dim (W_2\cap W).$

设 $A$ 为实对称矩阵。证明存在充分小的实数 $\epsilon >0$⁠，使 $I+\epsilon A$ 正定。

在上一问条件下证明 $f(f(A))=A$⁠。

若 $A+I$ 可逆，定义 $f(A)=(I-A)(I+A{)}^{-1}.$ 证明 $(I+f(A))(I+A)=2I.$

在上一问条件下求 $a,b$ 及方程组通解。