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设二次型 $f(X)=X^{T}AX$⁠，其中 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right).$ 将 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 化为一次因式的乘积。

设矩阵 $A,B,C$ 满足 $AC=CB.$ 证明 $A,B$ 均为方阵。若 $r(C)=r$⁠，证明 $A,B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式。

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计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a& a+b& \cdots & a+b& a+b\\ a-b& a& \cdots & a+b& a+b\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a-b& a-b& \cdots & a& a+b\\ a-b& a-b& \cdots & a-b& a\end{array}\right|.$

设 $(f(x),g(x))=1$⁠。证明 $f^2(x)+g^2(x)$ 的重根必是 $[f^{\prime }(x){]}^2+[g^{\prime }(x){]}^2$ 的根。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上分段连续，即存在有限分割 $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,$ 使 $f$ 在每个 $(x_{i-1},x_i)$ 上连续且在分点处存在左右极限。证明 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。

证明 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (xy)}{x}dx$ 关于参数 $y$ 在 $[y_0,+\infty )$($y_0>0$)上一致收敛，但在 $(0,+\infty )$ 上非一致收敛。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，证明 ${\lim }_{\lambda \to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)\cos (\lambda x)dx=0.$

设 $f$ 在 $(x_0-r,x_0+r)$ 上无穷次可导，且存在 $M>0$⁠，使 $|f^{(n)}(x)|\le M\frac{n!}{r^n},\forall x\in (x_0-r,x_0+r),n=0,1,2,\dots .$ 证明： (1)$f$ 在 $x_0$ 点的 Taylor...

证明数列 $x_n={\prod }_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{(k+1{)}^2}\right)$ 极限存在，并求 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$⁠。

用定义证明数列 $\sin n$ 的极限不存在。

证明 Riemann zeta 函数 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上连续且无穷次可微。

计算曲线积分 ${\int }_{L}ydx+zdy+xdz,$ 其中 $L$ 是 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1,$ 在第一卦限内从 $(a,0,0)$ 到 $(0,0,c)$ 的曲线，...

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