考研真题

设 $D=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$⁠，函数 $f$ 在 $D$ 内具有连续的二阶偏导数。若 $(x_0,y_0)\in D$ 是 $f$ 的局部极小值点，证明 $f_{xx}(x_0,y_0)+2f_{xy}(x_0,y_0)+f_{yy}(x_0,y_0)\ge 0.$

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y+x^4}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0.\end{array}$ 讨论 $f$ 在 $(0,0)$ 处的连续性与可微性。再令 $x(t)=t,y(t)=t^2$⁠，判断复合函数...

计算含参积分 $I(t)={\int }_0^{\pi /2}\frac{1}{\sin \theta }\ln \frac{1+t\sin \theta }{1-t\sin \theta }d\theta ,|t|<1.$

证明闭区间上黎曼可积函数列的一致极限仍黎曼可积。

设 $f$ 是以 $\pi$ 为周期的函数，且在 $[-\pi /2,\pi /2)$ 上 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2}+x,& -\frac{\pi }{2}\le x<0,\\ \frac{\pi }{2}-x,& 0\le x<\frac{\pi }{2}.\end{array}$ 将 $f$ 展开为...

证明对 $x\in [0,1]$⁠，有 $1+x^2\le 2^x$⁠。

设 $a_n>0$ 且 $\mathrm{limsup}{a}_{n+1}/a_n<\infty$⁠。证明 $\mathrm{limsup}\sqrt[n]{a_n}\le \mathrm{limsup}\frac{a_{n+1}}{a_n}.$

讨论 $\sin \sqrt{x}$ 与 $\sin (x^2)$ 在 $[0,\infty )$ 上的一致连续性。

两组基 $(e_i)$⁠、$(e^i)$ 互为对偶基，且 $(e_i,e_j)\le 0(i\ne j)$⁠。证明 $(e^i,e^j)\ge 0(i\ne j)$⁠。

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设 $M\in M_n(\mathbb{C})$⁠，若 $M$ 与其共轭矩阵 $\overline{M}$ 相似，证明 $M$ 复相似于实矩阵。

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设 $V_1,\dots ,V_m$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维空间的若干个 $r$ 维子空间。证明存在同一个补空间 $W$⁠，使 $V=V_i\oplus W$ 对所有 $i$ 成立。

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设复线性变换满足 $AB-BA=2026B$⁠。证明存在一组基使 $A,B$ 同时为下三角矩阵。

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