考研真题

设 $\mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等线性变换，即 ${\mathcal{A}}^2=\mathcal{A}$⁠。证明： (1) $\ker \mathcal{A}=\{X-\mathcal{A}X\mid X\in V\}$⁠； (2)...

设 $A,B$ 为正交矩阵且 $\det A+\det B=0$⁠。证明 $A+B$ 不可逆。

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，其特征值满足 $t_1<t_2<\cdots <t_n.$ 考虑二次型...

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设 $f,g,h\in \mathbb{R}[x]$⁠。给出存在 $u,v\in \mathbb{R}[x]$ 使 $uf+vg=h$ 的充要条件，并写出通解。

设 $f\in C[0,2\pi ]$⁠。证明 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{2\pi }f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)dx.$

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证明球面平均恒等式 ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }f(m\sin \theta \cos \phi +n\sin \theta \sin \phi +p\cos \theta )\sin \theta d\theta d\phi =2\pi {\int }_{-1}^{1}f\left(u\sqrt{m^2+n^2+p^2}\right)du.$ ...

已知 $F_n=\int {\left(\frac{\sin \frac{x-a}{2}}{\sin \frac{x+a}{2}}\right)}^{n}dx.$ 证明：...

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求 $I(a)={\int }_0^{\infty }\frac{\cos (ax)}{1+x^2}dx,a\ge 0.$

设 $P,Q$ 在全平面有连续偏导数，并且对任意上半圆周 $x=x_0+r\cos \theta ,y=y_0+r\sin \theta (0\le \theta \le \pi )$⁠，恒有 ${\int }_{L}Pdx+Qdy=0.$ 证明 $P\equiv 0$ 且 $Q_x\equiv 0$⁠。

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计算上半椭球面 $\Sigma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,z\ge 0$ 取上侧时的第二型曲面积分 ${\iint }_{\Sigma }{x}^{3}dydz+y^{3}dzdx+z^{3}dxdy.$

设 $f\in C^2[0,a]$⁠，在 $(0,a)$ 内取得最大值，且 $|f^{\prime \prime }(x)|\le M$⁠。证明 $|f^{\prime }(0)|+|f^{\prime }(a)|\le aM.$

设 $a_1,\dots ,a_n$ 为非零实数，求 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$ 在约束 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i/a_i=1$ 下的最小值。