考研真题

证明 $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}<\frac{\sqrt{2}}{2}.$

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且 $A^2=0$⁠。令 $B=A{A}^T+A^{T}A,C=A+A^T.$ 并记 $\ker M=\{x:Mx=0\}$⁠、$\mathrm{Im}M=\{Mx:x\in {\mathbb{R}}^n\}$⁠。证明： (1) $\ker B=\ker C$⁠； (2)...

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设 $P$ 为一个数域，$a_1,a_2,\dots ,a_m\in P$ 两两不同，$b_1,b_2,\dots ,b_m\in P$ 任意。记多项式 $p(x)$ 的次数为 $\partial (p(x))$⁠。证明：存在唯一的 $g(x)\in P[x]$⁠，满足 $\partial (g)<m$⁠，且对每个...

证明实可逆矩阵存在且唯一分解 $A=QR$⁠，其中 $Q$ 正交、$R$ 上三角且对角元为正。

设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$ 下的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& -1& -1& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 4& 4& 4& -1\end{array}\right).$ ...

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设 $\mathbb{C}[x{]}_{n^2}$ 是复数域上所有次数小于 $n^2$ 的多项式以及零多项式构成的集合，运算为通常的多项式加法与数乘。判断 $\mathbb{C}[x{]}_{n^2}$ 能否构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，并证明结论；若能，求其维数和一组基。

设 ${\alpha }_1=(1,-1,2,1,0),{\alpha }_2=(2,-2,4,-2,0),{\alpha }_3=(3,0,6,-1,1),{\alpha }_4=(0,3,0,0,1).$ (1) 求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示； (2)...

已知实数 $a_i\ne 0(i=1,2,\dots ,n)$⁠，计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}0& a_1+a_2& \cdots & a_1+a_n\\ a_2+a_1& 0& \cdots & a_2+a_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n+a_1& a_n+a_2& \cdots & 0\end{array}\right|.$ ...

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设 $X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right),$ 其中 $A,B,C,D$ 均为 $n$ 阶实矩阵，$A$ 为可逆对称矩阵，且 $B^T=C$⁠。 (1) 证明存在可逆矩阵 $P$⁠，使 $P^{T}XP$ 为分块对角矩阵； (2) 给出 $X$ 正定的充分必要条件。

设 $A\in M_n(F)$ 的秩为 $r(A)=r<n$⁠。证明 $A$ 可表示为 $n-r$ 个秩为 $n-1$ 的矩阵之积。

设 $D$ 为平面区域，$u$ 在 $D$ 内具有连续的二阶偏导数。证明：$u$ 在 $D$ 内为调和函数，当且仅当对任意圆周 $L\subset D$⁠，若 $L$ 所围圆域 $O\subset D$⁠，则 ${\oint }_L\frac{\partial u}{\partial n}ds=0,$ 其中 $n$ 为...

证明下列广义三重积分收敛，并计算其值： $I={\iiint }_D\frac{x^2}{(x^2+y^2+z^2{)}^2}dxdydz,D=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\le x\}.$