考研真题

设 $x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}$⁠。证明数列收敛并求极限。

计算极限： $(1){\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n!}{\sum }_{k=1}^{n}k!,(2){\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln \left(e^{a/x}+e^{b/x}\right).$

设 $P,Q$ 是单连通区域 $\Omega$ 上的 $C^1$ 函数，且 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $\Omega$ 上成立。证明曲线积分 ${\int }_{L}Pdx+Qdy$ 与路径无关，其中 $L$ 为...

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设实函数在一点邻域内可展开为收敛到自身的幂级数时称其在该点解析。 1. 若 $f,g$ 都是开区间 $I$ 上的实解析函数，且 $E=\{x\in I:f(x)=g(x)\}$ 在 $I$ 中有聚点，证明 $f\equiv g$⁠； 2. 设 $f,g$ 为 $\mathbb{R}$ 上的实解析函数，Wronski 行列式...

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设曲线 $L$ 是 $x^2+y^2+z^2=8,x^2+y^2=2z$ 的交线，方向为从 $z$ 轴正向朝原点看去的逆时针方向。计算 $I={\int }_L|\sqrt{3}y-x|dx+3ydy-2zdz.$

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设 $f,g\in C^0({\mathbb{R}}^2)$⁠，且当 $x\ne 0$ 时 $f(x)=g(x)\sin \frac{1}{\Vert x\Vert }.$ 若 $f$ 在原点可微，求 $df(0)$⁠，并分析 $g$ 在原点是否必可微。

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设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶可微。证明：对任意 $a,b\in \mathbb{R}$⁠、$t\in (0,1)$⁠，存在 $\xi \in \mathbb{R}$ 使 $f((1-t)a+tb)=(1-t)f(a)+tf(b)-\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}t(1-t)(b-a{)}^2.$

证明存在 $f\in C^1(\mathbb{R})$⁠，使 $f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 上恒为 $0$⁠，在 $(2,+\infty )$ 上恒为 $1$⁠。

求椭球面 $x^2+2y^2+3z^2=1$ 与坐标平面 $xOy$ 围成区域的体积。

计算第二类曲面积分 $I={\iint }_S\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+2y^2+3z^2{)}^{3/2}},$ 其中 $S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=1$⁠，取上侧。

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设 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\},$ 且 $H$ 在 $D$ 上调和，即 $H_{xx}+H_{yy}=0$⁠。若 $H(x,y)=1((x,y)\in \partial D),$ 证明 $H\equiv 1$ 于 $D$⁠。

利用有限覆盖定理证明闭区间上的零点存在定理：若 $f\in C[a,b]$ 且 $f(a)f(b)<0$⁠，则存在 $c\in (a,b)$ 使 $f(c)=0$⁠。

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