考研真题

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=f(1)=0,f\left(\frac{1}{2}\right)=1.$ 证明存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $f^{\prime }(\xi )=1$⁠。

(1)求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos x}{{\int }_0^x\frac{\ln (1+xy)}{y}dy}.$ (2)计算含参反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (xy)}{y{e}^y}dy.$

计算曲线积分 ${\int }_L{y}^{2}dx+z^{2}dy+x^{2}dz,$ 其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与柱面 $x^2+y^2-ax=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去取逆时针方向。

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设 $f(x)=\pi -x$⁠，$x\in [0,\pi ]$⁠。 (1)将 $f$ 展开为余弦级数，并在 $[-\pi ,\pi ]$ 上写出和函数； (2)判断该级数在 $[0,\pi ]$ 内是否一致收敛。

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{\sqrt{x^2+y^2}},& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0.\end{array}$ 求二阶混合偏导数 $f_{xy}(0,0)$⁠。

计算 ${\iint }_D\frac{\sin y\cos y}{y}dxdy,$ 其中 $D$ 是直线 $y=x$ 与抛物线 $x=y^2$ 围成的区域。

求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n+1}{n!2^n}(x-2{)}^n$ 的收敛域与和函数。

计算定积分 ${\int }_{-1}^1\frac{x+2}{e^x+e^{-x}}dx.$

计算不定积分 $\int \frac{\arccos x}{x^2}dx.$

求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\sqrt[n]{n^2+1}-1\right)\sin \frac{n\pi }{2}.$

隐函数 $y=y(x)$ 由 $\arcsin (xy)+y^2-y{e}^{xy}=2$ 确定。求曲线在点 $(0,2)$ 处的切线方程。

利用正交变换将实二次型 $7x_1^2+7x_2^2-5x_3^2+32x_1{x}_2-16x_1{x}_3-16x_2{x}_3$ 化为标准形。

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