考研真题

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n>a_{n+1}>0,{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n<\infty .$ (1) 证明 ${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n=0$⁠； (2) 证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n(a_n-a_{n+1})$ 收敛。

设 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\{nx\}}{n^2},$ 其中 $\{nx\}$ 表示 $nx$ 的小数部分。 (1) 求 $f$ 的间断点； (2) 证明 $f$ 在任意有界闭区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。

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证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x+n}{n^2}$ 在任意有界闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛，但对每个 $x\in \mathbb{R}$ 都不绝对收敛。

证明函数 $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ 在 $[1,+\infty )$ 上一致连续。

证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin (n+1)\cos (n-1)}{n^p}$ 在 $p>1$ 时收敛，在 $p\le 1$ 时发散。

证明由 $0,1$ 所构成的无穷序列不可数。

计算曲面积分 ${\iint }_{\Sigma }\frac{xdydz}{x^2+y^2+z^2},$ 其中 $\Sigma :x^2+y^2=1,-1\le z\le 1,$ 方向为外侧。

计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{j^2+k^2}.$

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若 $f(x)={\int }_{\sqrt{\pi /2}}^{\sqrt{x}}\frac{1}{1+\tan (u^2)}du,$ 求 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx.$

数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=0,x_{2m}=\frac{1}{2}{x}_{2m-1},x_{2m+1}=\frac{1}{2}+x_{2m}.$ 求 $\{x_n\}$ 的上下极限。

计算曲线积分 ${\int }_L(xy+yz+zx)dS,$ 其中 $L:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=a^2,\\ x+y+z=0.\end{array}$

设 $z=x\ln \frac{x}{y}.$ 求 ${d^{2}z|}_{(1,1)}$⁠。